1 Лекция 1. ПРИБЛИЖЁННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ И ИХ ПОГРЕШНОСТИ Количественные закономерности в явлениях природы описываются в математике в виде уравнений, связывающих некоторые функции, часть из которых известна, а другая часть подлежит определению. Без каких либо ограничений эти уравнения можно записать в достаточно общем виде - оператор, т. е. операция, определяющая закон преобразования Если вещественные числа, то называется функционалом. Задача : по заданному найти Этапы решения: . в .
2 Если решение задачи единственно и устойчиво (т. е. малые изменения приводят к малым изменениям ), то можно считать, что задача поставлена корректно. Получить решение задачи в точном аналитическом виде в большинстве случаев невозможно. Приходится решать задачу приближённо. Источники приближений : 1) не точное задание исходных функций , параметров и переменных; 2) потери точности проведении арифметических действий; 3) замена функций в результате применения специальных методов вычислений; 4) замена функций более простыми в результате математического моделирования процесса. Возникающие вопросы: Какой метод приближённого решения выбрать для решения данной задачи? Какова при этом будет погрешность полученного приближённого решения, т. е. какова будет степень отличия его от точного решения? Как определить погрешность приближённых чисел – меру их отличия от точных чисел? Как оценить погрешность результатов вычислений? Как наиболее рационально производить действия с приближёнными числами?
Абсолютная и истинная погрешность Если и читать есть приближённое значение числа « приближённо равно , то будем писать » . Истинной погрешностью приближённого числа будем называть величину Абсолютной погрешностью приближённого числа будем называть такое, что всякое, по возможности малое, положительное число В этом случае можно писать число представляет число 3 и говорить , что приближённое с точностью .
Относительная и истинная относительная погрешность 4 Абсолютная погрешность не учитывает масштаб числа и является размерной величиной , т. е. зависит от того в каких единицах записано число. Истинной относительной погрешностью приближённого числа называется величина Относительной погрешностью приближённого числа по возможности малое положительное число Следовательно такое, что называется
5 Неустранимые погрешности Входящие в любые задачи величины, как правило, известны неточно, а задаются с некоторой погрешностью. Эта погрешность приводит к погрешности результатов решения задачи, которая называется неустранимой погрешностью. Рассмотрим вопрос о величине неустранимой погрешности функций с арифметическими операциями. Пусть (1) Есть непрерывно дифференцируемая функция переменных Тогда, если значения аргументов даны приближённо то при замене в (1) значение функции т. е. представляет на получим приближённое с ошибкой - абсолютная погрешность функции, которую требуется определить при заданных значениях погрешностей аргументов.
Применяя формулу конечных приращений Лагранжа 6 к равенству (1), получим Из этой формулы сразу следует общее выражение для абсолютной погрешности функции (упростим запись производной) (2) Разделим обе части равенства (2) на Тогда (3) Формула (3) даёт различные выражения для относительной погрешности функции.
7 Арифметические функции Суммирование Пусть При замене Тогда по общей формуле (2) (учитывая, что Если все Пример. заключены в пределах Пусть получим ), находим то и заключено в этих же пределах Допустим, что Тогда на
8 Вычитание тогда Пусть Абсолютная погрешность разности, согласно (2), равна Относительная погрешность имеет в этом случае особенность Если имеют близкие значения, то Умножение Пусть Тогда
Таким образом, относительная погрешность произведения равна сумме относительных погрешностей сомножителей. Пример. Пусть Предположим, что Тогда Следовательно 9
10 Деление Тогда Пусть По уравнению (2) имеем Относительная погрешность деления есть сумма относительных погрешностей числителя и знаменателя. Пример. Вычислить выражение погрешности результата, если Имеем Определить
Подставляя полученные значения в исходное выражение, находим Относительная погрешность Тогда абсолютная погрешность равна Итак, 11
12 Погрешность метода Точные решения многих задач связано с принципиальными трудностями. Прибегая к какому-либо приближённому методу решения, мы фактически решаем другую аппроксимирующую задачу: вместо задачи задачу где - элемент, в некотором смысле близкий к элементу ; . будем называть погрешностью метода. - оператор, в определённом смысле близкий к оператору Величину Указать величину погрешности метода в общем случае нельзя. Этот вопрос решается в каждом случае независимо. Основная идея приближённых методов состоит в том, что вместо того, чтобы искать решения задачи в пространстве всех непрерывных функций, решение ищется в более узком классе функций. Вид их подбирается с учётом специфики задачи. Вопрос о приближении и интерполировании функций в задачах приближённого решения в чёткой форме впервые был поставлен в 1947 г. П. Л. Чебышевым.
Вычислительная погрешность. Понятие об устойчивости счёта 13 Допустим, что мы свели задачу к решению аппроксимирующей задачи Чтобы её решить надо указать вычислительный алгоритм, т. е. указать совокупность правил и расчётных формул , определяющих процесс счёта, приводящий к искомому результату. Метод вычислений желательно выбирать так, чтобы количество требуемых вычислительных операций было бы возможности наименьшим хотя бы для того, чтобы сократить объём счёта. В процессе вычислений мы, как правило, вынуждены производить округления или даже просто отбрасывать малые числа. За счёт этого образуется, так называемая вычислительная погрешность. Вообще , умножение и деление возможны только одновременно с округлением результатов. В вычислительных машинах это происходит автоматически. Фактически умножение и деление заменяется псевдоумножением и псевдоделением. Оказывается, что для псевдоопераций не выполняются ассоциативный и дистрибутивный законы.
Например, при округлении до третьего знака после запятой 14 (0, 364+0, 423) 0, 125 = 0, 098 в то время как 0, 364 0, 125 + 0, 423 0, 125 = 0, 099. Или (0, 964 0, 836) 0, 030 = 0, 024, а с другой стороны 0, 964 (0, 836 0, 030) = 0, 023. При большом количестве псевдоопераций могут накапливаться очень большие погрешности округлений. Поэтому в расчётах надо, во-первых, стараться уменьшать количество операций в алгоритме и, во-вторых, считать с большим количеством знаков, округляя только конечные результаты. Для повышения точности расчёта применяют методы с переходом от одного уровня приближения к другому уровню, характеризуемому большей точностью, повторяя такие переходы несколько раз. Практика вычислений предъявляет к теории приближённых методов ещё одно требование – устойчивости счёта относительно погрешностей. При длительном ряде шагов вычисления, допустив некоторую погрешность на каком-то шаге, что с этой погрешностью будет происходить на последующих шагах. Если погрешность, допущенная на первых шагах вычислений, в последующих шагах не увеличивается, то вычислительный процесс называется устойчивым, в противном случае, неустойчивым. Всякий метод, приводящий к неустойчивому счёту, должен быть отброшен.
Скачать презентацию 1 Лекция 1. ПРИБЛИЖЁННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ И ИХ ПОГРЕШНОСТИ
Приближённые вычисления.ppt