1 КНЛ НАД ІЄРАРХІЧНИМИ НОМІНАТИВНИМИ ДАНИМИ П

1 КНЛ НАД ІЄРАРХІЧНИМИ НОМІНАТИВНИМИ ДАНИМИ П ри застосуванні логіки 1 -го п орядку до програм над складними, ієрархічними даними виникає невідпов і дність між мовою логіки та мовою програм ( логіки 1 -го порядку базуються на алгебрах неструктурованих даних ). Для подолання такої невідповідності існують певні механізми, які дозволяють промоделювати складні дані через атомарні. Але значні зусилля витрачаються на саме моделювання і дослідження його властивостей. Для уникнення цих складнощів будуємо логіки, безпосередньо базовані на алгебрах ієрархічних даних. Такі логіки дають змогу описувати властивості предикатів та функцій, визначених над ієрархічними даними. Характерна властивість цих логік – використання в їх мовах складних імен. Спочатку дамо визначення ієрархічних номінативних даних (ІНД) та введемо операції над такими даними. На цій основі побудуємо КНЛ реномінативного та кванторного рівнів над ІНД. Назвемо їх логіками H — квазіарних предикатів. Для таких логік еквітонних H — квазіарних предикатів реномінативного рівня наведемо числення секвенційного типу. Логіки над ієрархічними номінативними даними дозволяють більш адекватно описувати властивості поширених в програмуванні відображень, визначених на даних із складною структурою.

2 Множин а іменованих ієрархічних номінативних даних HD ( V , A ) : Тоді – множина всіх скінченних однозначних відображень із V в ND k ( V , A ). Така однозначність гарантує однозначність іменування. 0 1( , ) ; ( , ) ( ( , ))n k k. ND V A A V ND V A U 1 ( , ) ( ( , ))n k k HD V A V ND V A U ( , )n k. V ND V

3 І НД дані можна подавати – у вигляді орієнтованого дерева – у вигляді ІМ зі складними іменами Вводяться операці ї : + об’єднання диз’юнктних І НД , видалення компонент з іменами, порівнянними з заданими х 1 , . . . , х n . Визначається операція реномінації Використання складних імен робить згортку реномінацій проблематичною: подати як одн у реномінаці ю неможливо Для запису згортки – подання реномінації в стандартній формі із викор ист a нням операцій : із простими v 1 , . . . , v m , іменування v , застосування d до імені. 1, . . . , ||mx x 1 1 , . . . , : ( , )n nv v x xr HD V A : 1 1 1 , . . . , ( ) || ( ). . . ( ) n n nv v n n x xr d d v d x a a. ( ( ))z u v u xr r d 1, . . . , , ||mv v

4 Приклад 1. Розглянемо ієрархічне дане d : [ x 0, z 0], z 1], y 0, z [ x 1, y 2], z 3]] Його можна перетворити у таке дане зі складними іменами: [ x. x. x 0, x. x. z 0, x. z 1, y 0, z. x 1, z. y. y 2, z. z 3] Форм у подання ІНД у вигляді ІМ зі складними іменами назвемо лінійною нормальною формою. ІНД d 1 та d 2 еквівалентні, якщо d 1 та d 2 мають однакові ЛНФ. Над ІНД введені операції видалення компонент із заданою умовою на імена, накладення та реномінації. Приклад 2. ||– х ( d ) = [ y 0, z. x 1, z. y. y 2, z. z 3]; ||– х. х , y. z , z. z ( d ) = [ x. z 1, z. x 1, z. y. y 2]. Визначаються стандартні форми операції видалення компонент із умовою на імена та операції реномінаці ї.

5 Предикати вигляду Р : HD ( V , A ) { T , F }, назвемо H — квазіарними. Ім’я x V строго неістотне для квазіарного предиката P на HD ( V , A ): d , HD ( V , A ) маємо P ( d || – x + x ) = P ( d || — х ). V -квазіарний предикат P : HD ( V , A ) { T , F } еквітонний: d , d’ HD ( V , A ) із d d’ та P ( d ) випливає P ( d’ ) = P ( d ). Базові композиції реномінативного рівня: Базові композиції кванторного рівня: Пропозиційні композиції H — квазіарних предикатів задаємо традиційно, так, як для логіки квазіарних предикатів. Базові композиції – це Клінієві та 1 1 , . . . , , , n n v v x x. R 1 1 , . . . , , , , n n v v x x. R x

6 Композицію реномінації визначаємо через операцію реномінації на ІНД : Основні властивості композицій реномінації R ) RR) d HD ( V , A ). R S N) Нехай у V строго неістотне для Р ; тоді RT) при z V. RT E ) ( – рівність з точністю до визначеності ). 1 11 , . . . , 1 1, . . . , ( )( ) ( || ( ). . . ( ))n nn v v n nx x. R Q d v x d a a ( )v v x x. R P ( ) ( )v v v x x x. R P Q R P R Q ( ( )( ) ( ( ( )))v u u v x y y x. R R P d P r r d , , ( )y v v z x x. R P , , ( )z v v z x x. R P , , ( )u v v u x x. R P

7 При визначенні композицій x та x треба врахувати складність кванторних імен та можливість вести квантифікацію як за всіма ієрархічними, так і за базовими даними. Для першого випадку композиція x задається так: Для другого випадку композиція x задається так: Композиція х – базова, тоді х – похідна: х = х Р. Teo рема 1. Клас e квітонних H — квазіарних предикатів замкнений щодо is композицій , , реномінації , x. , якщо існує ( , ) : ( || ) , ( ) , якщо ( || ) для всіх , невизначене в усіх інших випадках. x x T b HD V A P d x b T x. P d F P d x a F a A a a , якщо існує : ( || ) , ( ) , якщо ( || ) для всіх , невизначене в усіх інших випадках. x x T b A P d x b T x. P d F P d x a F a A a a

8 Основні властивості композицій x та x 1. Якщо x та у непорівнянні, то x у. Р = у х. Р та x у. Р = у х. Р. 2. Поглинання зовнішнього квантора внутрішнім за тим же іменем: x х. Р = х. Р ; x х. Р = х. Р. 3. Поглинання зовнішнього квантора внутрішнім за загальнішим іменем: x. у х. Р = х. Р ; x. у х. Р = х. Р. x х. у. Р , х. у. Р – різні; x х. у. Р , х. у. Р – різні. 4. 5. Поглинання верхнього імені реномінації загальнішим кванторним: якщо x є префіксом імен із Водночас 6. Ці властивості переформульовуються для x. , , . ( ), якщо . { , , }. x u z vx y R P x y z u v , , ( ), y u u z v v. R x. P . . . ( ) (. ), . ( ) x x z z x y vx y R P R x y. P x y R P ( ), якщо { , }. u u v vz R P R z. P z u v , { }. y x u

9 Семантичні моделі та мови логік H — квазіарних предикатів Семантичними моделями КНЛ над ІНД є композиційні системи H — квазіарних предикатів вигляду ( HD ( V , A ), Pr V _А , C ). Із синтаксичного погляду мови КНЛ H — квазіарних предикатів та квазіарних предикатів відп. рівня мало відрізняються (складн і імен а ). Інтегрован і семантичн і модел і , які пов ‘ язують мову КНЛ H — квазіарних предикатів відповідного рівня із АС даних – АС з доданою сигнатурою вигляду (( HD ( V , A ), Pr V _А ), I ). В изначення множини формул мови кванторного рівня 1) К ожний ПС є формулою; такі формули атомарні; 2) якшо та – формули, то та Ф – формули; 3) якшо – формула, то – формула; 4) якшо – формула, то x – формула. Φv x. R

10 Т отальне однозначне відображення I : Ps P r V _А задає інтерпретацію атомарних формул на моделі мови A = ( A , I ). Відображення I продовжується до відображення інтерпретації формул I : Fr P r V _А таким чином: 1) I ( ) = ( I ( )); 2) I ( ) = ( I ( ), I ( )) 3) 4) I ( x ) = x ( I ( )). Для випадку логік реномінативного рівня опускаємо п. 4. Предикат I ( ) – значення формули при інтерпретації на A = ( A , I ), – позначаємо A. . (Φ) R ( (Φ))v v x x. I R I

11 (частково) істинна при інтерпретації на АС A = ( A , I ), або A -неспростовна, (позн. A |= ), якщо A – (частково) істинний предикат. усюди (частково) істинна, або неспростовна ( |= ), якщо – A -неспростовна при інтерпретації на моделі мови A. виконувана при інтерпретації на A = ( A , I ), якщо A – виконуваний. виконувана, якщо виконувана при інтерпретації на деякій A. є логiчним наслiдком (позн. |= ): усюди істинна. є слабким логiчним наслiдком ( позн. ||= ): A A |= .

12 та логiчно еквiвалентнi (позн. ): |= та |= . та строго еквiвалентнi в моделі мови A ( позн. A TF ): T ( A ) = T ( A ) та F ( A ) = F ( A ), тобто A та A – один і той же предикат. та логiчно строго еквiвалентнi ( позн. TF ): A TF A Множина формул є логічним наслідком множини формул в моделі мови АС A ( позн. |= А ), якщо є логічним наслідком (позн. |= ), якщо |= А моделей мови A. ( )A AT F I I

13 Для КНЛ H — квазіарних предикатів справджуються теореми семантичної еквівалентності та заміни еквівалентних. Теорема 2 (семантичної еквівалентності). Нехай ‘ отримано з формули замiною деяких входжень формул 1 , . . . , n на 1 , . . . , n вiдповiдно. Якщо 1 1 , . . . , n n , то ‘. Теорема 3 (семантичної еквівалентності, сильна форма). Нехай ‘ отримано з формули замiною деяких входжень формул 1 , . . . , n на 1 , . . . , n вiдповiдно. Якщо 1 TF 1 , . . . , n TF n , то TF ‘. Теорема 4 (заміни еквівалентних). Нехай . Тоді , |= та |= , .

14 Властивості композицій квантифікації Q 1. x y TF y x та x y TF y x , якщо x та у непорівнянні. Q 2. x TF x та x TF x . Q 3. x TF x x , x TF x x ; x TF x x , x TF x x . Q 4. x TF x. у x , x TF x. у x ; x TF x. у x , x TF x. у x . x x. у TF x x. у , x x. у TF x x. у . Q 5. x x TF x ( ) та x & x TF x ( & ). Q 6. x ( & )|= x & x та x x |= x ( ). Q 7. y x |= x y ; водночас не завжди x y |= y x . Q 8. ||= x та || = x . Q 9. |= x ( x ) та |= x ( x ); |= x ( x ) та |= x ( x ).

15 Властивості відношення логічного наслідку для множин формул |– ) , |= , . – | ) |= , , |= . |– ) , |= та , |= . – | ) |= , , . RTE |– ) RTE –| ) R s. N | – ) при у V строго неістотне для R s. N – | ) при у V строго неістотне для R R |– ) R R –| ) R R |– ) R R –| ) , , (Φ), Γ | Δ u v v u x AR R , , Γ | (Φ), Δ u v v A u x A x. R R , , (Φ), Γ | Δ y v v z x AR R , , Γ | (Φ), Δ y v v A z x A x. R R ( (. . . (Φ). . . )), Γ | Δ u v w x y z AR R R Γ | ( (. . . ( Φ). . . )), Δ Γ | ( (. . . (Φ). . . )), Δ u v w A x y z. R R R ( (. . . (Φ Ψ). . . )), Γ | Δ u v w x y z AR R R ( (. . . (Φ). . . )) ( (. . . (Ψ). . . )), Γ | Δu v w x y z AR R R Γ | ( (. . . (Φ Ψ). . . )), Δ u v w A x y z. R R R Γ | ( (. . . (Φ). . . )) ( (. . . (Ψ). . . )), Δu v w A x y z. R R R

16 Секвенційні числення логік H- квазіарних предикатів Секвенції – множини специфікованих формул (символами |– чи –| ) Секвенційне числення будується так: секвенція |– –| має виведення |= . Секвенція замкнена: така: |– та –| або примітивні та з однаковими реномінантами: |– та –| . Якщо |– –| замкнена, то |= . C еквенційне дерево замкнене: кожний його листок – замкнена секвенція. Секвенція має виведення: замкнене секвенційне дерево з коренем . Секвенційні форми – синтаксичні аналоги семант. властивостей |= Секвенційні числення РНЛ еквітонних H- квазіарних предикатів назвемо RID — численнями

17 Секвенційні форми RID — числень | | |– RTE –| RTE |– RR –| RR |– RR – | RR | | , Σ A A | | | , Σ A B | | | , , Σ A B | , | , ( ), Σ v x u v u x R A R A | | ( (. . . ( ). . . )), Σ u v w x y z R R R A | | ( (. . . ( ). . . )), Σ ( (. . . ( ). . . )), Σ u v w x y z u v w x y z R R R A R R R B R R R

18 Теорема 5 ( коректності). Нехай секвенція |– –| вивідна. Тоді |= . Для доведення повноти RID — числень – метод модельних множин. Теорема 6. Нехай – незамкнений шлях у секвенційному дереві. Тоді існують АС A = ( A , I ) та HD ( V , A ) такі: |– Н A ( ) = T та – | Н A ( ) = F. Тут Н – множина всіх специф. формул секвенцій шляху – модельна. Теорема 7 (повноти). Нехай |= . Тоді секвенція |– –| вивідна.