1 Геометричні методи мінімізації булевих функцій Лекція 7

1 Геометричні методи мінімізації булевих функцій Лекція 7 Геометричні методи мінімізації

2 Метод карт Карно Найпоширенішим є метод, заснований на використанні карт Карно, що є графічним представленням таблиць істинності булевих функцій. Таблиці містять по 2n прямокутні комірки, де n – кількість логічних змінних. Карта розмічається системою координат, яка відповідає значенням змінних. Комбінація цифр у позначенні кожного стовпчика показує, для яких значень змінних обчислюється функція, розташована в його клітинках. Якщо на наборі (1, ..., n) значення функції дорівнює 1, то її д.д.н.ф. містить елементарну кон'юнкцію , яка набуває значення 1. Тому комірки карти Карно, що являють функцію, містять стільки 1, скільки елементарних кон'юнкцій міститься в її д.д.н.ф., причому, кожній 1 відповідає одна з елементарних кон'юнкцій. Геометричні методи мінімізації

3 Структури карт Карно для функцій двох і трьох змінних x2x3 00 01 11 10 x1 0 1 x1 0 1 x2 0 1 Геометричні методи мінімізації

4 Структура карти Карно для функції чотирьох змінних x3x4 00 01 11 10 00 x1x2 01 11 10 Геометричні методи мінімізації

5 Координати рядків і стовпчиків у карті Карно Координати рядків і стовпчиків у карті Карно слідують не у природному порядку зростання двійкових кодів, а у порядку 00, 01, 11, 10. Модифікацію порядку слідування наборів зроблено для того, щоб сусідні набори (які відрізняються один від одного тільки цифрою одного розряду) були сусідніми у геометричному розумінні. Геометричні методи мінімізації

6 На рисунку прямокутнику, який містить чотири комірки, відповідає елементарна кон'юнкція двох змінних, а квадрату, що складається з однієї комірки, – елементарна кон'юнкція Відповідна покриттю функція має вигляд f(x1, x2, x3, x4) = Cусідні прямокутники (1) Геометричні методи мінімізації .

7 Прямокутники із одиницями у першому та четвертому стовпчиках будуть сусідніми у геометричному розумінні. Одиниці у першому та четвертому рядках також сусідніми у геометричному розумінні. Cусідні прямокутники (2) Геометричні методи мінімізації

8 Чотири одиниці на рисунку також будуть суміжними у геометричному розумінні і відповідають одному прямокутнику площею 4. Комірки карти Карно розміщено на поверхні тора. Верхня та нижня межі карти Карно склеюються, а склеювання бічних меж утворює тороїдальну поверхню. Тому комірки на останніх двох рисунках утворюють прямокутники. Cусідні прямокутники (3) Геометричні методи мінімізації

9 Процес мінімізації полягає у формуванні правильних прямокутників, які містять по 2k комірки, заповнені одиницями (k – ціле число). У прямокутники поєднуються сусідні комірки, що відповідають сусіднім елементарним кон'юнкціям. Сукупність прямокутників, що покривають усі 1, називається покриттям. Одна й та сама комірка може бути покрита двома чи кількома прямокутниками. Зробимо висновки: 1. Формула, отримана у результаті мінімізації булевої функції за допомогою карт Карно, містить стільки елементарних кон'юнкцій, скільки прямокутників є у покритті. 2. Чим більше комірок у прямокутнику, тем менше змінних у відповідній їй елементарній кон'юнкції. Процес мінімізації булевої функції Геометричні методи мінімізації

10 1. Зображується таблиця для n змінних і виконується розмітка її бічних сторін. 2. Комірки таблиці, що відповідають наборам змінних, на яких значення функції дорівнює 1, заповняються одиницями, інші – не заповнюються (або заповнюються 0). 3. Вибирається найкраще покриття таблиці правильними прямокутниками, яким вважається утворене мінімальною кількістю прямокутників; якщо ж таких варіантів кілька, то з них вибирається той, що дає максимальну сумарну площу прямокутників. Якість мінімізації оцінюється функціоналом, що називається коефіцієнтом покриття k = m/s, де m – загальна кількість прямокутників; s – їх сумарна площа. Послідовність дій за мінімізації булевих функцій за методом карт Карно Геометричні методи мінімізації

11 Неповністю визначені булеві функції Якщо булева функція має заборонені набори змінних, то її значення на вказаних наборах не визначено, що у таблиці істинності функції позначаються знаком *. На карті Карно комірки, відповідні забороненим наборам змінних, також позначаються знаком *. За мінімізації неповністю визначеної функції її варто додатково визначити (невизначені значення комірок карти Карно довільно довизначити як 0 або 1). Якщо булева функція має m заборонених наборів змінних, то може існувати 2m варіантів розв'язку задачі довизначення функції. Бажано вибрати варіант, за якого формула мінімізованої функції буде найпростішою (матиме відповідне значення функціонала LЛ(A), LК(A) або LЗ(A). Геометричні методи мінімізації

12 Приклад 2.12. На рисунку (наступний слайд) зображено карти Карно неповністю визначеної булевої функції і два варіанти її покриття. Зіставлення рис. 2.8 б і в дає змогу зробити висновок, що д.н.ф. A2 є кращою за д.н.ф. A1. Приклад неповністю визначеної функції (1) Геометричні методи мінімізації

13 х2х3 х2х3 х2х3 A1 = A2 = х3 Приклад неповністю визначеної функції (2) Геометричні методи мінімізації

14 Схеми логічних елементів Нижче подано логічні елементи, що реалізують найпростіші булеві функції. Якщо виходи одних елементів поєднати із входами інших, то одержимо схему, що реалізує складніші функції. Сукупність різних типів елементів, достатніх для відтворення будь-якої булевої функції, називатимемо логічним базисом. Вище було показано, що елементи AND і NOT є таким логічним базисом, де елемент типу OR може бути отримано із елементів AND і NOT відповідно до рівняння Y = Геометричні методи мінімізації .

15 Логічний базис може складатися тільки з одного типу елементів, наприклад, AND-NOT (булева функція штрих Шеффера). Елемент AND-NOT Геометричні методи мінімізації

16 Схеми одержання функцій AND та OR подано на рисунках а та б ліворуч та праворуч відповідно. Формування функцій AND та OR б а Геометричні методи мінімізації

17 Комбінаційні схеми При поєднанні логічних елементів утворюються пристрої, схеми яких називають логічними. Якщо у логічній схемі відсутні зворотні зв'язки, то їх називають комбінаційними. Вони реалізують функції, значення яких на поточний момент часу визначаються тільки сукупністю значень вхідних змінних і не залежать від попередніх значень вхідних змінних. Комбінаційні схеми називають такими, що не мають властивості пам'яті (попередня історія не впливає на результат перетворення). За формального синтезу комбінаційних схем часом затримки логічних елементів нехтують. Геометричні методи мінімізації

18 Приклад синтезу комбінаційного суматора Приклад 2.13 синтезу комбінаційного суматора. Найпростішим пристроєм, що виконує додавання двох однорозрядних чисел, є комбінаційний суматор. Функції s (сума) і p (перенесення) для цього елемента подано у таблиці, а логічні рівняння подано нижче: Схему однорозрядного комбінаційного суматора, що реалізовано у базисі AND-NOT, подано на наступному слайді (рис. а); на рис. б наведено його умовне позначення. Цей елемент інколи називають однорозрядним напівсуматором, оскільки у ньому не враховується можливість підсумовування ознак перенесення із попереднього розряду. Геометричні методи мінімізації

19 Однорозрядний напівсуматор а б Геометричні методи мінімізації

20 Два однорозрядних напівсуматори утворюють однорозрядний суматор, схему якого наведено на наступному слайді (рис. а). Проміжна сума si' утворюється як результат підсумування значень однойменних розрядів ai та bi вихідних чисел. Далі si підсумовується з ознакою перенесення pi-1 із попереднього розряду, утворюється остаточне значення суми si. Ознаки перенесення pi' і pi'' з обох напівсуматорів поєднуються за схемою OR, унаслідок чого виникає остаточне значення перенесення pi (обидві ознаки pi' і pi'' не можуть одночасно дорівнювати 1). Умовне позначення комбінаційного суматора на схемах подано на наступному слайді (рис. б). Однорозрядний суматор Геометричні методи мінімізації

21 Схема однорозрядного суматора а б Геометричні методи мінімізації

22 Поєднання n суматорів дозволяє побудувати схему n-розрядного комбінаційного суматора (наступний слайд). На його виходах s1, ..., sn з'явиться код, відповідний значенню суми двох n-розрядних вихідних двійкових чисел. Ознака pn використовується для індикації переповнення розрядної сітки комп'ютера. n-розрядний комбінаційний суматор (1) Геометричні методи мінімізації

23 n-розрядний комбінаційний суматор (2) Геометричні методи мінімізації

24 Геометричні методи мінімізації