1 Эйлер, Ляпунов, Навье и Стокс 2 Уравнение

1 Эйлер, Ляпунов, Навье и Стокс

2 Уравнение неразрывности Уравнение движения Уравнение Бернулли. Для какого движения справедливо это уравнение Записать силу давления для идеальной жидкости

3 Физический смысл потенцала скорости

4 Пусть внешние силы равны нулю, а жидкость покоится. В течении короткого интервала времени  действует градиент давления и возникает движение. Умножим на dt и проинтегрируем уравнение движения от 0 до  .

5 Обозначим Тогда

6 Получаем: Потенциал скорости представляет собой систему импульсных давлений, отнесенных к плотности жидкости, которая бы привела жидкость из состояния покоя в движение со скоростью u. Это истолкование дано Коши и Пуассоном в 1816г.

7 Интеграл уравнения движения для стационарного потока несжимаемой жидкости Для стационарного движения выполняется вдоль линии тока Для безвихревого движения -( ) выплняется везде

8 За промежуток времени Δt жидкость в трубе сечением S1 переместится на l1 = υ1Δt, сечением S2 переместится на l2 = υ2Δt. Объем жидкости, протекающий через сечение трубы за время Δt : ΔV1 = l1S1; ΔV2 = l2S2 Сохранение объема : ΔV = l1S1 = l2S2 или υ1S1 = υ2S2. Течение идеальной жидкости по трубе переменного сечения

9

10 Для прямой трубы

11 υ1 < υ2 < υ3; найти соотношения для h1 , h2 , h3 (высота пропорциональна р) Монометры – для измерения давления

12 υ1 < υ2 < υ3; h1 > h2 > h3

13 Получить выражение для скорости вытекающей жидкости (формулу Торричелли) d1>> d2 d2 d1

14

15 Трубка Пито-Прандтля Какой параметр измеряет этот прибор?

16 ПОЛУЧИТЬ интеграл движения для нестационарного безвихревого течения идеальной однородной несжимаемой жидкости в поле потенциальных сил.

17 Выражение в скобках не зависит от координат, но зависит от времени

18 Получаем интеграл Коши Где f(t) произвольная функция времени

19 Показать, что существование интегралов Бернулли, Бернулли-Эйлера и Коши накладывает ограничение на скорость течения жидкости

20 Пусть z = z0

21 Сохранение и изменение вихря скорости

22 К правой и левой части применяем операцию rot

23 учтем, что обозначим

24 Так как

25 учитывая по определению полной производной

26 Уравнение Фридмана для вихревого дижения идеальной жидкости плотность давление Записать уравнение Фридмана для течения идеальной жидкости в случае: Несжимаемая жидкость Внешние силы потенциальны Плотность – функция только давления

27 1)Пусть внешние силы потенциальны 2) плотность является функцией только давления 3)жидкость несжимаема

28 Уравнение Гельмгольца для вихревого дижения несжимаемой жидкости Если уравнение выполняется во всей области и в любой момент времени, то выполняется необходимое и достаточное условие, чтобы сохранялись вихревые линии и циркуляция скорости (интенсивность вихревых трубок)

29 Уравнение Гельмгольца для несжимаемой жидкости однородной по плотности , где Если , то вихрь скорости сохраняется

30 Если в момент времени t=0 в жидкости нет вихрей они не возникнут и в любой другой момент времени. Если ротор скорости отличен от нуля, то завихренность остается неизменной во времени

31 х у z ux=u0 + y, uy=0, uz=0 Сохраняется ли вихрь для потока со сдвигом скорости

32 х z

33 Проверить Выполняется ли уравнение Гельмгольца для движения несжимаемой жидкости, если скорость задана выражениями: ux= z, uy= - z, uz=y - x

34

35 Причины возникновения вихрей 1)Внешние силы не имеют потенциала 2) плотность является функцией не только давления 3)жидкость сжимаема 4) Ушли градиенты параметров из основного уравнения при применении операции rot

36 Бесконечная пластина равномерно нагрета, температура воздуха ниже температуры пластины вдали от нее Построить линии равной плотности в тонком слое воздуха над пластиной Построить вектор градиента плотности у>0 воздух без водяных паров у

37 V удельный объем воздуха у

38 Бесконечная пластина неравномерно нагрета, температура воздуха ниже температуры пластины вдали от нее Построить линии равной плотности в тонком слое воздуха над пластиной Построить вектор градиента плотности у>0 воздух без водяных паров у

39 V удельный объем воздуха у

40 Термики, всплывающие от нагретой поверхности. Грибообразные столбики периодически поднимаются от нагретой медной пластинки. Визуализация осуществляется электрохимическим путем с помощью подкраски тимолом-синим. На правом снимке скорость нагрева выше. [Sparrow, Husar, Goldstein, 1970]

41 Вихри в атмосфере

42 плотность является функцией не только давления Закон Гей-Люссака: при постоянном давлении плотность есть функция температуры. P=const =const экватор

43 В результате неравномерного прогрева атмосферы Земли линии равной плотности и равного давления (изопикны и изобары) не параллельны друг другу. В результате в атмосфере зарождаются вихри планетарного масштаба, определяющие господствующие ветры. От 30 широт к экватору – пассаты, С охлажденных материков в теплый океан (или наоборот летом) - муссоны

44

45 При нормальных погодных условиях у берегов Перу дуют два ветра: а) пассат над океаном на север б) сильный ветер с берега в океан Под действием пассата и силы Кориолиса теплая вода перемещается от берега на запад. Ветер с материка тоже отгоняет поверхностную воду от берега.

46

47

48 В результате у берегов Перу холодная богатая питательными веществами вода поднимется из глубинных слоев к поверхности океана, что приводит к быстрому росту массы планктона. Это обеспечивает изобилие рыбы.

49 Изобилие рыбы определяет объемы предложения и потребления рыбы на всем побережье.

50 -сезонное явление, случается ежегодно у берегов Перу. При возникновении резко сокращается улов рыбы. заключается в том, что меняется обычное движение поверхностных вод океана : вместо движения от берега Перу в открытый океан, вода течет вдоль берега.

51

52 Во время зимнего солнцестояния материк сильно прогревается. В результате происходит ослабление интенсивности ветра с берега. В это же время происходит ослабление пассата (но не его разворот, как часто утверждается), господствующего в северном направлении

53 В этих условиях движение поверхностных вод может поменять направление на противоположное, предотвращая подъем глубинных вод.

54 - сезонное явление. Обратный ток воды может возникнуть, но может и нет. Продолжительность явления зависит от величины суммарной радиации, поступающей от Солнца. - охраняет перуанское рыбное стадо, отдыхающее в течение «естественного» закрытого сезона. Инерция дрейфового течения сокращает сроки действия

55 Если сроки действия увеличиваются, на побережье начинаются голод и эпидемии. Такие события появляются с периодом 11 лет. 1982-83, 1990-91, 1997-98. В этот период появляются и другие катастрофические явления (ураган Лили 2002).

56 назван испанскими миссионерами. Это же название использовал Humboldt в 1802г., объясняя явление космическими силами. относится к климатическим явлениям, названным Бьеркнесом (1969) «южные осцилляции». Рассмотренные выше ветры обусловлены существованием областей высокого и низкого давления, возникающими в результате глобальной циркуляции в атмосфере.

57 Нагрев и охлаждение ограниченной области атмосферы х у g

58 Нагрев и охлаждение ограниченной области атмосферы

59

60 Куда дует ветер утром, когда температура суши ниже, чем температура воды в море?

61 Бриз - ветер в море с охлажденной за ночь суши.

62 асфальт трава Какое движение возникнет над дорожкой в конце жаркого дня?

63

64 Черное море Мраморное море Эгейское море

65 Плотность воды возратает вдоль оси х Вода в Мраморном море менее плотная из-за сильного прогрева. Она перетекает из Мраморного моря в Эгейское по поверхности. По дну течение направлено в противоположную сторону. P=const х =const y Мраморное Эгейское

66 Средиземное море Атлантический океан

67 Накопленное верхними слоями океана в низких широтах солнечное тепло переносится летом теплыми течениями (такими, как Гольфстрим и Куросио) в умеренные. В холодный период года океан в высоких широтах отдает его в атмосферу. Это один из основных механизмов воздействия океана на климат. Однако во фронтальной зоне (т.е. в области больших градиентов температуры и солености) тепло и соль переносят не только течения, но и синоптические вихри океана.

68 Гольфстрим Вихрь

69 Вихри имеют масштаб порядка 70 – 80 км. Скорость орбитального движения быстро уменьшается с глубиной. В верхнем слое толщиной около 500 м скорость вращения достигает 40-45 см/c. На глубине 1400 м орбитальная скорость уменьшалась до 10 см/с. Скорость перемещения вихрей в генеральном направлении на запад составляет от 2 до 10 см/c. Интенсивные вихри переносят вместе с собой содержавшуюся в них воду. Время жизни - 3-4 месяца.

70 В Тихоокеанском океанологическом институте РАН, начиная с 80-х годов 20 века, ведутся наблюдения за большими вихрями, формирующимися на западе Тихого океана, в зоне слияния двух главных течений этого региона: Ойясио и Курасио. Вихри медленно движутся на северо-восток вдоль всей длины Курило-Камчатского желоба против основного потока Ойясио в субарктические воды.

71

72

73 Вихрь, названный WCR86B (вихрь течения Куросио 1986 г. с теплым ядром), отделился от течения Куросио примерно у 37°с.ш. и двигался вдоль желоба против течения на северо-восток со скоростью около 1-2 см/с. В сентябре 1990 г. он достиг широты пролива Буссоль (46.5°с.ш.), отделяющего южную группу Курильских островов от средней группы.

74 Даже так далеко от места своего появления он содержал теплое и соленое ядро в верхнем слое и ядро низкой солености в глубине.

75 В теплой верхней части ядра соленость достигает 34.2‰, в нижней холодной части ядра соленость снижается до 33.6‰. (что обычно для вихрей течения Куросио у побережья Японии).

76 Особенно интересна продолжительность жизни вихрей течений Куросио и Ойясио. Казалось бы, они должны разрушаться из-за турбулентной диссипации, как антициклонические вихри Гольфстрима. Вместе с тем, вихрь WCR86B, зародившись в 1986г., продолжал двигаться вдоль Курило-Камчатского желоба еще в конце 1991 г., то есть существовал более пяти лет. Слежение за вихрем проводилось с помощью последовательных съемок на судах Тихоокеанского океанологического института и непрерывных спутниковых изображений, принятых и обработанных в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН.

77 Вихри в пограничных слоях потоков жидкости

78 Придонный слой конечной толщины может быть остановлен этими силами Силы действующие на элементарный объем воды вблизи дна в замедляющемся потоке Если х u Fтрения u1p1 u2p2 y Свободная поверхность

79 торможение придонного слоя в замедляющемся стационарном потоке 4 кадра видеофильма b - дно вода кадр №1 Частица №1 замедляется (перемещение частицы от кадра к кадру, показанное отрезком, убывает) Частица №2 замедляется также, как и частица №1 вместе со всем придонным слоем до остановки на кадре №4 Идет образование вихря Вихрь вылетает при остановке придонного слоя толщиной d

80 Образование вихря при торможении придонного слоя Последовательные кадры 1-4 включают сворачивание вихря, захватившего темную частицу, вращающуюся по часовой стрелке на внешней орбите вихря. При остановке придонного слоя на кадре 4 вихрь вылетает вверх.

81 Вихри имеют форму цилиндров с горизонтальной осью перпендикулярной направлению потока

82 х у z Сохранение вихря скорости при возникновении устойчивой структуры у дна

83 Угловая скорость вращения вихря w, возникающего в сдвиговом слое потока y