1 Эйлер, Ляпунов, Навье и Стокс 2 Разложение

1 Эйлер, Ляпунов, Навье и Стокс

2 Разложение комплексного потенциала в ряд

3 Всякая конечная, непрерывная и однозначная функция f(z), первая производная которой конечна для всех точек области между двумя концентрическими окружностями, описанными около начала , может быть разложена в ряд:

4 Если условия выполнены внутри круга, то Если условия выполнены вне круга, то Если условия выполнены во всей плоскости ху

5 Полагая , вводя полярные координаты , представляя комплексные коэффициенты разложения в виде внутри круга вне круга учитывая Получить потенциал скорости и функцию тока φ и ψ

6

7 Если значение  или задано на концентрических окружностях, то это значение может быть разложено в ряд Фурье по косинусам и синусам кратного . Эти ряды должны быть эквивалентны рядам полученным выше. Приравнивая в отдельности коэффициенты при sin(n) и при cos(n) , можно получить уравнения для определения Pn, Qn, Rn, Sn.

8 U 2a Цилиндр движется в неограниченной жидкости, которая на бесконечности находится в покое U х у Предполагаем, что движение возникает из состояния покоя. Тогда оно остается безвихревым, а потенциал скорости будет однозначным вне цилиндра Так как то  - однозначна и может быть представлена в виде ряда вместе с  вне цилиндра

9 U Нормальная составляющая скорости в жидкости на границе с цилиндром равна для r=a r  Так как Pn=0, Qn =0,то дифференцируя потенциал скорости по r и приравнивая нормальные составляющие скорости на границе цилиндра r=a, получаем: Найти R

10 Остальные коэффициенты равны нулю Полное решение задачи: Найти линии тока

11 =const вдоль линии тока

12 у Течение, возникающее при движении цилиндра с постоянной скоростью в неподвижной жидкости, подобно течению, возникающему в жидкости при наличии дублета в начале координат.

13 Задача Найти кинетическую энергию потока

14 Кинетическая энергия жидкости: Кинетическая энергия системы (цилиндр+жидкость), отнесенная к единице длины цилиндра, равна сумме энергии цилиндра ( 1/2 МU2) и энергии жидкости (1/2 М выт.жидкU2)

15 Сила, действующая на цилиндр

16 Если при прямолинейном движении цилиндра на него действует внешняя сила Х , отнесенная к единице длины, то уравнение изменения энергии будет: Со стороны жидкости на цилиндр действует сила Она исчезает, если скорость не зависит от времени.

17 Определим эту силу используя интеграл движения, записанный через потенциал скорости для нестационарного движения жидкости: q - результирующая скорость:

18

19 Если цилиндр движется в идеальной жидкости с постоянной во времени скоростью, то со стороны жидкости на него не действует силы.

20 Обтекание цилиндра плоскопараллельным потоком

21 Сообщим жидкости и цилиндру скорость -U. Тогда жидкость будет обтекать неподвижный цилиндр Пусть цилиндр движется со скоростью U, как показано на рисунке. Запишем комплексный потенциал для плоскопраллельного движения жидкости.

22 Потенциал скорости и функция тока для плоскопараллельного течения n=1 : х у r

23 Надо прибавить

24 Является ли граница цилиндра линией тока? Каковы линии тока? Определим потенциал скорости и функцию тока на границе цилиндра r=a

25 Подкраска позволяет увидеть линии тока в воде, текущей со скоростью 1 мм/с между двумя стеклянными пластинками, отстоящими на расстояние одного миллиметра. Линии тока абсолютно симметричны, такая картина должна наблюдаться в идеальной жидкости (без вязкости) Ползущее течение Обтекание круга в лотке Хил-Шоу

26 На первый взгляд представляется парадоксальным, что наилучший способ получения безотрывной картины плоского потенциального обтекания цилиндра характерного для идеальной жидкости, состоит в переходе к противоположному крайнему случаю ползущего течения в узком зазоре, для которого влияние сил вязкости является определяющим. Фото D. Н. Регеgrine

27 Сила, действующая на цилиндр

28 Для стационарного движения при отсутствии внешних сил Для стационарного движения -( ) выполняется вдоль данной линии тока Для безвихревого движения -( ) выплняется везде

29 Какая сила действует на тело в потоке жидкости, если движение безвихревое? Скорость на границе: u=0 u=0 umax=2U umax 0

30 Куда направлена сила, действующая на тело в потоке жидкости со сдвигом скорости? u u=0 u=0 u1 u2 x y

31 Какая сила действует на вращающееся тело в потоке жидкости, если движение безвихревое? u=0 u=0 umax umax

32 Как обтекает цилиндр реальная жидкость?

33 При этом числе Рейнольдса картина линий тока, очевидно, уже потеряла ту симметрию передней и задней частей, которая имела место в ползущем течении. Обтекание кругового цилиндра при Re=1,54.

34 Однако поток сзади все же еще не оторвался. Отрыв начинается примерно при Re = 5, хотя значение числа Рейнольдса начала отрыва точно неизвестно. Линии тока визуализированы с помощью алюминиевого порошка в воде. Фото Sadatoshi Taneda

35 Обтекание кругового цилиндра при Re=9,6. Произошел отрыв, и образовалась пара рециркуляционных вихрей.

36 Цилиндр движется в бассейне с водой, содержащей алюминиевый порошок, и подсвечивается световым ножом под свободной поверхностью. Экстраполяция результатов подобных экспериментов на случай неограниченного потока указывает на возможность отрыва при Re=4-5, тогда как большинство численных расчетов дает Re=5-7. Фото Sadatoshi Taneda

37 По мере увеличения скорости неподвижные вихри начинают вытягиваться в направлении потока. Их длина линейно растет с ростом числа Рейнольдса, пока значение Re не превысит 40 Обтекание кругового цилиндра при Re=13,1.

38 Расстояние вниз по потоку до центров вихрей также линейно возрастает с ростом числа Рейнольдса. Обтекание кругового цилиндра при Re=26.

39 При таком числе Рейнольдса рециркуляционный след простирается на целый диаметр вниз по потоку, однако он полностью сохраняет свою стационарность, как и в случае кругового цилиндра. Визуализация осуществляется тонким слоем сгущенного молока на шаре; молоко постепенно растворяется и уносится потоком воды. [Taneda, 1956b] Обтекание шара при Re=104

40 Подкраска обнаруживает ламинарный пограничный слой, отрывающийся перед экватором, причем этот слой остается ламинарным на длине, почти равной радиусу. Затем слой становится неустойчивым и быстро превращается в турбулентный. Фото ONERA. [Werle, 1980] Мгновенная картина потока при обтекании шара при Re=15 000

41 Почему возникают вихри за шаром?

42 Придонный слой конечной толщины может быть остановлен этими силами Силы действующие на элементарный объем воды вблизи дна в замедляющемся потоке Если и х Ffriction u1p1 u2p2 y Свободная поверхность u1>u2 p -давление

43 u=0 u=0 umax umax Fтр Под действием силы трения и градиента давления происходит периодическая остановка поверхностного слоя и образование вихрей

44 Вода обтекает цилиндр диаметром 1 см co скоростью 1,4 см/с. Визуализация движения осуществляется так: частицы метятся белым коллоидным дымом, создаваемым электролитическим способом и освещаются световым ножом. Видно, что по мере продвижения вниз по потоку на несколько диаметров ширина вихревой пелены возрастает. Фото Sadatoshi Taneda Вихревая дорожка Кармана за круговым цилиндром при Re = 140.

45 Камера движется здесь вместе с вихрями, а не с цилиндром. Структура линий тока весьма напоминает картину невязкого течения, рассчитанную Карманом. Визуализация потока осуществляется с помощью частиц, плавающих на воде. Фото R. Wille, снимок взят из статьи [Werle, 1973]. Воспроизведено с соответствующего разрешения из Annual Review of Fluid Mechanics, Vol. 5, © 1973 by Annual Reviews Inc Вихри Кармана в абсолютном движении

46 Зависимость скорости потока от времени (внутри придонного d слоя) между моментами вылета вихрей T

47 u=0 u=0 umax umax Fтр u x y В вязкой жидкости Р1 Р2 Р1> Р2

48 Ветер, Vвет>C C Р1> Р2 Р1 Р2 Усиление волн ветром

49 Произвольное безвихревое движение

50 Для того, чтобы ряд, представляющий комплексный потенциал, соответствовал случаю произвольного безвихревого движения между двумя концентрическими окружностями, к ряду Необходимо прибавить еще член

51 Если A=P+iQ, то соответствующие выражения для потенциала скорости и функции тока будут: Циклическая константа функции тока 2Р означает поток через внутреннюю или внешнюю окружности. Циклическая константа потенциала скорости 2Q означает циркуляцию по некоторой замкнутой кривой, заключающей начало.

52 Цилиндр двигается с постоянной скоростью и вращается с циклической постоянной . Граничные условия будут выполнены, если предположить, что На одной стороне цилиндра скорость больше, а на другой - меньше. Возникает разность давлений. Для поддержания горизонтального движения надо приложить силу в вертикальном направлении.

53 Линии тока для В этом случае точка, в которой скорость равна нулю находится в жидкости

54 Изучить обтекание цилиндра потоком с циркуляцией Задача

55 Обтекание вращающегося цилиндра Для r = a Сила действует на цилиндр вдоль вертикальной оси не зависит от радиуса

56 Всякое непрерывное движение жидкости, наполняющей неограниченное пространство и покоящейся в бесконечности, можно рассматривать, как движение, вызванное соответствующим распределением источников и вихрей с конечной плотностью.

57 Всякое непрерывное безвихревое циклическое и нециклическое движение несжимаемой жидкости, наполняющей произвольную область, может рассматриваться как движение, вызванное некоторым распределением вихрей по ограничивающей поверхности, которая отделяет область от остального неограниченного пространства. В случае области, простирающейся в бесконечность, это распределение относится к конечной части ограничивающей поверхности при условии, что жидкость покоится в бесконечности.