1 Эйлер, Ляпунов, Навье и Стокс 2 При

1 Эйлер, Ляпунов, Навье и Стокс

2 При обтекании цилиндра жидкостью, его поверхность должна быть линией тока, а =const. Для задания такой функции тока можно подобрать систему источников и стоков.

3 х цилиндр Р О Q R источники сток Показать, что поверхность цилиндра является линией тока

4

5 Разложение комплексного потенциала в ряд

6 Всякая конечная, непрерывная и однозначная функция f(z), первая производная которой конечна для всех точек области между двумя концентрическими окружностями, описанными около начала координат, может быть разложена в ряд:

7 Если условия выполнены внутри круга, то Если условия выполнены вне круга, то Если условия выполнены во всей плоскости ху

8 Полагая , вводя полярные координаты , представляя комплексные постоянные получим:

9

10 Если значение  или задано на концентрических окружностях, то это значение может быть разложено в ряд Фурье по косинусам и синусам кратного угла . Эти ряды должны быть эквивалентны рядам полученным выше. Приравнивая в отдельности коэффициенты при sin(n) и при cos(n) , можно получить уравнения для определения Pn, Qn, Rn, Sn.

11 U 2a Цилиндр движется в неограниченной жидкости, которая на бесконечности находится в покое U х у Предполагаем, что движение возникает из состояния покоя. Тогда оно остается безвихревым, а потенциал скорости будет однозначным вне цилиндра

12 U Нормальная составляющая скорости в жидкости на границе с цилиндром равна для r=a r 

13 Дифференцируя потенциал скорости по r и приравнивая нормальные составляющие скорости на границе цилиндра r=a, получаем:

14 Остальные коэффициенты равны нулю Найти функцию тока

15 Так как циркуляция скорости то  - однозначна и может быть представлена в виде ряда вместе с  вне цилиндра

16

17

18 Полное решение задачи: =const вдоль линии тока а

19 у Течение, возникающее при движении цилиндра с постоянной скоростью в неподвижной жидкости, подобно течению, возникающему в жидкости при наличии дублета в начале координат.

20 Задача Найти кинетическую энергию потока

21

22 Кинетическая энергия жидкости:

23 Кинетическая энергия системы (цилиндр+жидкость), отнесенная к единице длины цилиндра, равна сумме энергии цилиндра ( 1/2 МU2) и энергии жидкости (1/2 М выт.жидкU2)

24 Сила, действующая на цилиндр

25 Если при прямолинейном движении цилиндра на него действует внешняя сила Х , отнесенная к единице длины, то уравнение изменения энергии будет:

26 Со стороны жидкости на цилиндр действует сила Она исчезает, если скорость не зависит от времени.

27 Определим эту силу, используя интеграл движения, записанный через потенциал скорости для нестационарного движения жидкости: q - результирующая скорость:

28

29

30 Для того, чтобы найти силу, действующую на цилиндр со стороны окружающей жидкости, надо проинтегрировать давление по границе цилиндра. Проекция на ось х:

31 Если цилиндр движется в идеальной жидкости с постоянной во времени скоростью, то со стороны жидкости на него не действует силы.

32 Обтекание цилиндра плоскопараллельным потоком

33 -U 2a Сообщим жидкости и цилиндру скорость -U. Тогда жидкость будет обтекать неподвижный цилиндр Пусть цилиндр движется со скоростью U, как показано на рисунке. Запишем комплексный потенциал для плоскопраллельного движения жидкости.

34 Потенциал скорости и функция тока для плоскопараллельного течения n=1 : х у r

35 Надо прибавить

36 Является ли граница цилиндра линией тока? Каковы линии тока? Определим потенциал скорости и функцию тока на границе цилиндра r=a

37 На границе цилиндра

38 Ползущее течение Обтекание круга в лотке Хил-Шоу

39 Подкраска позволяет увидеть линии тока в воде, текущей со скоростью 1 мм/с между двумя стеклянными пластинками, отстоящими на расстояние одного миллиметра. Линии тока абсолютно симметричны, такая картина должна наблюдаться в идеальной жидкости (без вязкости)

40 На первый взгляд представляется парадоксальным, что наилучший способ получения безотрывной картины плоского потенциального обтекания цилиндра характерного для идеальной жидкости, состоит в переходе к противоположному крайнему случаю ползущего течения в узком зазоре, для которого влияние сил вязкости является определяющим. Фото D. Н. Регеgrine

41 Как обтекает цилиндр реальная жидкость?

42 При этом числе Рейнольдса картина линий тока, очевидно, уже потеряла ту симметрию передней и задней частей, которая имела место в ползущем течении. Обтекание кругового цилиндра при Re=1,54.

43 Однако поток сзади все же еще не оторвался. Отрыв начинается примерно при Re = 5, хотя значение числа Рейнольдса начала отрыва точно неизвестно. Линии тока визуализированы с помощью алюминиевого порошка в воде. Фото Sadatoshi Taneda

44 Обтекание кругового цилиндра при Re=9,6. Произошел отрыв, и образовалась пара рециркуляционных вихрей.

45 Цилиндр движется в бассейне с водой, содержащей алюминиевый порошок, и подсвечивается световым ножом под свободной поверхностью. Экстраполяция результатов подобных экспериментов на случай неограниченного потока указывает на возможность отрыва при Re=4-5, тогда как большинство численных расчетов дает Re=5-7. Фото Sadatoshi Taneda

46 По мере увеличения скорости неподвижные вихри начинают вытягиваться в направлении потока. Их длина линейно растет с ростом числа Рейнольдса, пока значение Re не превысит 40 Обтекание кругового цилиндра при Re=13,1.

47 Расстояние вниз по потоку до центров вихрей также линейно возрастает с ростом числа Рейнольдса. Обтекание кругового цилиндра при Re=26.

48 При таком числе Рейнольдса рециркуляционный след простирается на целый диаметр вниз по потоку, однако он полностью сохраняет свою стационарность, как и в случае кругового цилиндра. Визуализация осуществляется тонким слоем сгущенного молока на шаре; молоко постепенно растворяется и уносится потоком воды. [Taneda, 1956b] Обтекание шара при Re=104

49 Подкраска обнаруживает ламинарный пограничный слой, отрывающийся перед экватором, причем этот слой остается ламинарным на длине, почти равной радиусу. Затем слой становится неустойчивым и быстро превращается в турбулентный. Фото ONERA. [Werle, 1980] Мгновенная картина потока при обтекании шара при Re=15 000

50 Почему возникают вихри за шаром?

51 Придонный слой конечной толщины может быть остановлен этими силами Силы действующие на элементарный объем воды вблизи дна в замедляющемся потоке х Ffriction u1p1 u2p2 y Свободная поверхность

52 u=0 u=0 umax umax Fтр Под действием силы трения и градиента давления происходит периодическая остановка поверхностного слоя и образование вихрей

53 Вода обтекает цилиндр диаметром 1 см co скоростью 1,4 см/с. Визуализация движения осуществляется так: частицы метятся белым коллоидным дымом, создаваемым электролитическим способом и освещаются световым ножом. Видно, что по мере продвижения вниз по потоку на несколько диаметров ширина вихревой пелены возрастает. Фото Sadatoshi Taneda Вихревая дорожка Кармана за круговым цилиндром при Re = 140.

54 Камера движется здесь вместе с вихрями, а не с цилиндром. Структура линий тока весьма напоминает картину невязкого течения, рассчитанную Карманом. Визуализация потока осуществляется с помощью частиц, плавающих на воде. Фото R. Wille, снимок взят из статьи [Werle, 1973]. Воспроизведено с соответствующего разрешения из Annual Review of Fluid Mechanics, Vol. 5, © 1973 by Annual Reviews Inc Вихри Кармана в абсолютном движении

55 u=0 u=0 umax umax Fтр u x y В вязкой жидкости Р1 Р2 Р1> Р2

56 Зависимость скорости потока от времени (внутри придонного d слоя) между моментами вылета вихрей T

57 1. Почему не образуются вихри за цилиндром? Подкраска позволяет увидеть линии тока в воде, текущей со скоростью 1 мм/с между двумя стеклянными пластинками, отстоящими на расстояние одного миллиметра. Линии тока абсолютно симметричны, такая картина должна наблюдаться в идеальной жидкости (без вязкости)

58 Над поверхностью воды существует горизонтальный поток воздуха, скорость потока уменьшается в направлении движения. Как возникают волны на поверхности воды?

59 Ветер, Vвет>C C Р1> Р2 Р1 Р2 Усиление волн ветром

60

61 Для стационарного движения при отсутствии внешних сил Для стационарного движения - ( ) выполняется вдоль данной линии тока Для безвихревого движения ( ) выплняется везде

62 Определить скорость на границе и компоненты силы, действующей со стороны жидкости на цилиндр u=0 u=0 umax umax

63 u=0 u=0 umax=2U umax 0

64 Куда направлена сила, действующая на цилиндр в потоке жидкости со сдвигом скорости? u u=0 u=0 u1 u2 x y

65 u=0 u=0 umax umax Куда направлена сила, действующая на вращающийся цилиндр в однородном потоке жидкости?

66 Для того, чтобы ряд, представляющий комплексный потенциал, соответствовал случаю произвольного безвихревого движения между двумя концентрическими окружностями, к ряду необходимо прибавить еще слагаемое, описывающее влияние вихревых нитей

67 Если A=P+iQ, то соответствующие выражения для потенциала скорости и функции тока будут: Циклическая константа функции тока 2Р означает поток через внутреннюю или внешнюю окружности. Циклическая константа потенциала скорости 2Q означает циркуляцию по некоторой замкнутой кривой, заключающей начало координат.

68 Изучить обтекание цилиндра потоком с циркуляцией Задача

69 Цилиндр двигается с постоянной скоростью и вращается с циклической постоянной .

70 Линии тока для В этом случае точка, в которой скорость равна нулю находится в жидкости

71 Обтекание вращающегося цилиндра

72 Для r = a Сила действует на цилиндр вдоль вертикальной оси не зависит от радиуса

73 Всякое непрерывное движение жидкости, наполняющей неограниченное пространство и покоящейся в бесконечности, можно рассматривать, как движение, вызванное соответствующим распределением источников и вихрей с конечной плотностью.

74 Всякое непрерывное безвихревое циклическое и нециклическое движение несжимаемой жидкости, наполняющей произвольную область, может рассматриваться как движение, вызванное некоторым распределением вихрей по ограничивающей поверхности, которая отделяет область от остального неограниченного пространства. В случае области, простирающейся в бесконечность, это распределение относится к конечной части ограничивающей поверхности при условии, что жидкость покоится в бесконечности.