1 Эйлер, Ляпунов, Навье и Стокс 2 Движение

Скачать презентацию 1 Эйлер, Ляпунов, Навье и Стокс 2 Движение Скачать презентацию 1 Эйлер, Ляпунов, Навье и Стокс 2 Движение

37616-n6_body.ppt

  • Количество слайдов: 84

>1 Эйлер, Ляпунов, Навье и Стокс 1 Эйлер, Ляпунов, Навье и Стокс

>2 Движение тела в идеальной жидкости (плоский случай) 2 Движение тела в идеальной жидкости (плоский случай)

>3 1. Построим кинематическую картину (поле скорости): находим комплексный потенциал, т.е. подбираем такое распределение 3 1. Построим кинематическую картину (поле скорости): находим комплексный потенциал, т.е. подбираем такое распределение особых точек (вихри, источники) на всей плоскости течения, которое при отсутствии тела в потоке жидкости дает такое же поле скорости. Задача: найти силу, действующую на тело в потоке жидкости

>4 2. Применяя уравнение Бернулли (стационарное движение) или Коши-Лагранжа (нестационарное движение), находим давление на 4 2. Применяя уравнение Бернулли (стационарное движение) или Коши-Лагранжа (нестационарное движение), находим давление на тело со стороны окружающей жидкости. 3. Интегрируем давление по поверхности тела и находим силу, действующую на тело со стороны окружающей жидкости.

>5 Граничные условия Плоское течение в безграничной жидкости, покоящейся на бесконечности, возникающее при движении 5 Граничные условия Плоское течение в безграничной жидкости, покоящейся на бесконечности, возникающее при движении тела. а)

>6 б) На контуре тела нормальная составляющая скорости контура Un совпадает со скоростью частиц 6 б) На контуре тела нормальная составляющая скорости контура Un совпадает со скоростью частиц жидкости un

>7 1). 2). Тело движется поступательно со скоростью U в направлении оси 0х На 7 1). 2). Тело движется поступательно со скоростью U в направлении оси 0х На неподвижном контуре 3). Произвольное движение тела

>8 2. Жидкость на бесконечности имеет скорость U, направленную вдоль оси 0х, обтекает неподвижное 8 2. Жидкость на бесконечности имеет скорость U, направленную вдоль оси 0х, обтекает неподвижное тело Для нестационарного движения U, V, ω, c зависят от параметра t.

>9 Задача Дирихле – определение в области D некоторой функции ψ, удовлетворяющей уравнению Лапласа, 9 Задача Дирихле – определение в области D некоторой функции ψ, удовлетворяющей уравнению Лапласа, по известным значениям функции на контуре области D. Можно искать потенциал скорости φ (удовлетворяет уравнению Лапласа в области течения), но на контуре равенство нормальных составляющих скорости тела и жидкости будет: Это задача Неймана

>10 Связь В многосвязной области безвихревое движение полностью определяется     10 Связь В многосвязной области безвихревое движение полностью определяется на контурах, если заданы все циркуляции скорости (циклические постоянные)

>11 Безвихревое движение жидкости внутри  эллиптического  цилиндра 11 Безвихревое движение жидкости внутри эллиптического цилиндра

>12 Функция ψ должна удовлетворять внутри эллипса   И граничному условию 12 Функция ψ должна удовлетворять внутри эллипса И граничному условию

>13 Ищем функцию ψ в виде полинома второй степени Подставляем в уравнение Лапласа 13 Ищем функцию ψ в виде полинома второй степени Подставляем в уравнение Лапласа

>14 Подставляем в граничное условие выражение для ψ Совместимость с уравнением эллиптического контура дает 14 Подставляем в граничное условие выражение для ψ Совместимость с уравнением эллиптического контура дает

>15 Получаем : Получить выражения для проекций скорости ux, uy и найти потенциал скорости 15 Получаем : Получить выражения для проекций скорости ux, uy и найти потенциал скорости φ

>16 16

>17 Для чисто поступательного движения: Для чистого вращения: Линии тока - гиперболы 17 Для чисто поступательного движения: Для чистого вращения: Линии тока - гиперболы

>18 Движение жидкости относительно подвижных осей координат, скорость которых составляют компоненты переносной скорости определяется 18 Движение жидкости относительно подвижных осей координат, скорость которых составляют компоненты переносной скорости определяется

>19 Интегрируя выражения скорости, получаем траекторию в виде эллипсов, подобных границе: Относительное движение не 19 Интегрируя выражения скорости, получаем траекторию в виде эллипсов, подобных границе: Относительное движение не является безвихревым

>20 Разложение комплексного  потенциала в ряд 20 Разложение комплексного потенциала в ряд

>21 Всякая конечная, непрерывная и однозначная функция f(z), первая производная которой конечна для всех 21 Всякая конечная, непрерывная и однозначная функция f(z), первая производная которой конечна для всех точек области между двумя концентрическими окружностями, описанными около начала координат, может быть разложена в ряд:

>22 Если условия выполнены внутри круга, то Если условия выполнены вне круга, то Если 22 Если условия выполнены внутри круга, то Если условия выполнены вне круга, то Если условия выполнены во всей плоскости ху

>23 Полагая            23 Полагая , вводя полярные координаты , представляя комплексные постоянные получим:

>24 24

>25 Если значение  или задано на концентрических окружностях, то это значение может быть 25 Если значение  или задано на концентрических окружностях, то это значение может быть разложено в ряд Фурье по косинусам и синусам кратного угла . Эти ряды должны быть эквивалентны рядам полученным выше. Приравнивая в отдельности коэффициенты при sin(n) и при cos(n) , можно получить уравнения для определения Pn, Qn, Rn, Sn.

>26 Для того, чтобы ряд, представляющий комплексный потенциал, соответствовал случаю произвольного безвихревого движения между 26 Для того, чтобы ряд, представляющий комплексный потенциал, соответствовал случаю произвольного безвихревого движения между двумя концентрическими окружностями, к ряду необходимо прибавить еще слагаемое, описывающее влияние вихревых нитей

>27 Если A=P+iQ, то соответствующие выражения для потенциала скорости и функции тока будут: Циклическая 27 Если A=P+iQ, то соответствующие выражения для потенциала скорости и функции тока будут: Циклическая константа функции тока 2Р означает поток через внутреннюю или внешнюю окружности. Циклическая константа потенциала скорости 2Q означает циркуляцию по некоторой замкнутой кривой, заключающей начало координат.

>28 Движение  кругового цилиндра 28 Движение кругового цилиндра

>29 U 2a Цилиндр движется в неограниченной жидкости, которая на бесконечности находится в покое 29 U 2a Цилиндр движется в неограниченной жидкости, которая на бесконечности находится в покое U х у Предполагаем, что движение возникает из состояния покоя. Тогда оно остается безвихревым, а потенциал скорости будет однозначным вне цилиндра

>30 U Нормальная составляющая скорости в жидкости на границе с цилиндром равна для r=a 30 U Нормальная составляющая скорости в жидкости на границе с цилиндром равна для r=a r 

>31 Дифференцируя потенциал скорости по r и приравнивая нормальные составляющие скорости на границе цилиндра 31 Дифференцируя потенциал скорости по r и приравнивая нормальные составляющие скорости на границе цилиндра r=a, получаем:

>32 Остальные коэффициенты равны нулю Найти функцию тока 32 Остальные коэффициенты равны нулю Найти функцию тока

>33 Так как циркуляция скорости то  - однозначна и может быть представлена в 33 Так как циркуляция скорости то  - однозначна и может быть представлена в виде ряда вместе с  вне цилиндра

>34 34

>35 35

>36 Полное решение задачи: =const вдоль линии тока а 36 Полное решение задачи: =const вдоль линии тока а

>37 у Течение, возникающее при движении цилиндра с постоянной скоростью в неподвижной жидкости, подобно 37 у Течение, возникающее при движении цилиндра с постоянной скоростью в неподвижной жидкости, подобно течению, возникающему в жидкости при наличии дублета в начале координат.

>38 Задача Найти кинетическую энергию потока 38 Задача Найти кинетическую энергию потока

>39 39

>40 Кинетическая энергия жидкости: 40 Кинетическая энергия жидкости:

>41 Кинетическая энергия системы (цилиндр+жидкость),  отнесенная к единице длины цилиндра, равна сумме энергии 41 Кинетическая энергия системы (цилиндр+жидкость), отнесенная к единице длины цилиндра, равна сумме энергии цилиндра ( 1/2 МU2) и энергии жидкости (1/2 М выт.жидкU2)

>42 Сила, действующая на цилиндр 42 Сила, действующая на цилиндр

>43 Если при прямолинейном движении цилиндра на него действует внешняя сила Х , отнесенная 43 Если при прямолинейном движении цилиндра на него действует внешняя сила Х , отнесенная к единице длины, то уравнение изменения энергии будет: Работа в единицу времени

>44 Со стороны жидкости на цилиндр действует сила Она исчезает, если скорость не зависит 44 Со стороны жидкости на цилиндр действует сила Она исчезает, если скорость не зависит от времени.

>45 Определим эту силу, используя интеграл движения, записанный через потенциал скорости для нестационарного движения 45 Определим эту силу, используя интеграл движения, записанный через потенциал скорости для нестационарного движения жидкости: q - результирующая скорость:

>46 46

>47 47

>48 Для того, чтобы найти силу, действующую на цилиндр со стороны окружающей жидкости, надо 48 Для того, чтобы найти силу, действующую на цилиндр со стороны окружающей жидкости, надо проинтегрировать давление по границе цилиндра. Проекция на ось х:

>49 Если цилиндр движется в идеальной жидкости с постоянной во времени скоростью, то со 49 Если цилиндр движется в идеальной жидкости с постоянной во времени скоростью, то со стороны жидкости на него не действует силы.

>50 Обтекание цилиндра плоскопараллельным потоком 50 Обтекание цилиндра плоскопараллельным потоком

>51 -U 2a Сообщим жидкости и цилиндру скорость -U. Тогда жидкость будет обтекать неподвижный 51 -U 2a Сообщим жидкости и цилиндру скорость -U. Тогда жидкость будет обтекать неподвижный цилиндр Пусть цилиндр движется со скоростью U, как показано на рисунке. Запишем комплексный потенциал для плоскопараллельного движения жидкости.

>52 Потенциал скорости и функция тока для плоскопараллельного течения  Линии тока 52 Потенциал скорости и функция тока для плоскопараллельного течения Линии тока

>53 Надо прибавить 53 Надо прибавить

>54 Является ли граница цилиндра  линией тока? Каковы линии тока? Определим потенциал скорости 54 Является ли граница цилиндра линией тока? Каковы линии тока? Определим потенциал скорости и функцию тока на границе цилиндра r=a

>55 На границе цилиндра  Линии тока  С Найти скорость на круге С 55 На границе цилиндра Линии тока С Найти скорость на круге С (граница цилиндра – линия тока)

>56 Максимальное значение скорости в точках на концах вертикального диаметра и равно 2U. Минимальное 56 Максимальное значение скорости в точках на концах вертикального диаметра и равно 2U. Минимальное значение на концах горизонтального диаметра – ноль. Поле давления симметрично на контуре тела.

>57 Движение цилиндра с циркуляцией 57 Движение цилиндра с циркуляцией

>58 Цилиндр двигается с постоянной скоростью и вращается с циклической постоянной γ. Граничные условия 58 Цилиндр двигается с постоянной скоростью и вращается с циклической постоянной γ. Граничные условия будут выполнены, если предположить, что На одной стороне цилиндра скорость больше, а на другой - меньше. Возникает разность давлений. Для поддержания горизонтального движения надо приложить силу в вертикальном направлении.

>59 Линии тока для В этом случае точка, в которой скорость равна нулю находится 59 Линии тока для В этом случае точка, в которой скорость равна нулю находится в жидкости

>60 -U Добавим поток в отрицательном направлении оси 0х U Записать потенциал скорости и 60 -U Добавим поток в отрицательном направлении оси 0х U Записать потенциал скорости и скорость жидкости на контуре

>61 -U Обтекание вращающегося цилиндра 61 -U Обтекание вращающегося цилиндра

>62 Для r = a  Сила действует на цилиндр вдоль  вертикальной оси 62 Для r = a Сила действует на цилиндр вдоль вертикальной оси не зависит от радиуса

>63 Ползущее течение Обтекание круга в лотке Хил-Шоу 63 Ползущее течение Обтекание круга в лотке Хил-Шоу

>64 Подкраска позволяет увидеть линии тока в воде, текущей со скоростью 1 мм/с между 64 Подкраска позволяет увидеть линии тока в воде, текущей со скоростью 1 мм/с между двумя стеклянными пластинками, отстоящими на расстояние одного миллиметра. Линии тока абсолютно симметричны, такая картина должна наблюдаться в идеальной жидкости (без вязкости)

>65 На первый взгляд представляется парадоксальным, что наилучший способ получения безотрывной картины плоского потенциального 65 На первый взгляд представляется парадоксальным, что наилучший способ получения безотрывной картины плоского потенциального обтекания цилиндра характерного для идеальной жидкости, состоит в переходе к противоположному крайнему случаю ползущего течения в узком зазоре, для которого влияние сил вязкости является определяющим. Фото D. Н. Регеgrine

>66 Как обтекает цилиндр реальная жидкость? 66 Как обтекает цилиндр реальная жидкость?

>67 картина линий тока уже потеряла ту симметрию передней и задней частей, которая имела 67 картина линий тока уже потеряла ту симметрию передней и задней частей, которая имела место в ползущем течении. Re=1.54

>68 Однако поток сзади все же еще не оторвался. Отрыв начинается примерно при Re 68 Однако поток сзади все же еще не оторвался. Отрыв начинается примерно при Re = 5, хотя значение числа Рейнольдса начала отрыва точно неизвестно. Линии тока визуализированы с помощью алюминиевого порошка в воде. Фото Sadatoshi Taneda

>69 Обтекание кругового цилиндра при Re=9,6. Произошел отрыв, и образовалась пара рециркуляционных вихрей. 69 Обтекание кругового цилиндра при Re=9,6. Произошел отрыв, и образовалась пара рециркуляционных вихрей.

>70 Цилиндр движется в бассейне с водой, содержащей алюминиевый порошок, и подсвечивается световым ножом 70 Цилиндр движется в бассейне с водой, содержащей алюминиевый порошок, и подсвечивается световым ножом под свободной поверхностью. Экстраполяция результатов подобных экспериментов на случай неограниченного потока указывает на возможность отрыва при Re=4-5, тогда как большинство численных расчетов дает Re=5-7. Фото Sadatoshi Taneda

>71 неподвижные вихри начинают вытягиваться в направлении потока. Их длина линейно растет с ростом 71 неподвижные вихри начинают вытягиваться в направлении потока. Их длина линейно растет с ростом числа Рейнольдса, пока значение Re не превысит 40 Re=13.1

>72 Расстояние вниз по потоку до центров вихрей линейно возрастает с ростом числа Рейнольдса. 72 Расстояние вниз по потоку до центров вихрей линейно возрастает с ростом числа Рейнольдса. Re=26

>73 рециркуляционный след простирается на целый диаметр вниз по потоку, однако он полностью сохраняет 73 рециркуляционный след простирается на целый диаметр вниз по потоку, однако он полностью сохраняет свою стационарность, как и в случае кругового цилиндра. Визуализация осуществляется тонким слоем сгущенного молока на шаре; молоко постепенно растворяется и уносится потоком воды. [Taneda, 1956b] Обтекание шара при Re=104

>74 Подкраска обнаруживает ламинарный пограничный слой, отрывающийся перед экватором, причем этот слой остается ламинарным 74 Подкраска обнаруживает ламинарный пограничный слой, отрывающийся перед экватором, причем этот слой остается ламинарным на длине, почти равной радиусу. Затем слой становится неустойчивым и быстро превращается в турбулентный. Фото ONERA. [Werle, 1980] Re=15 000

>75 Почему возникают вихри за шаром? 75 Почему возникают вихри за шаром?

>76 Придонный слой конечной толщины может быть остановлен этими силами Силы действующие на элементарный 76 Придонный слой конечной толщины может быть остановлен этими силами Силы действующие на элементарный объем воды вблизи дна в замедляющемся потоке х Ffriction u1p1 u2p2 y Свободная поверхность

>77 u=0 u=0 umax umax Fтр Под действием силы трения и градиента давления происходит 77 u=0 u=0 umax umax Fтр Под действием силы трения и градиента давления происходит периодическая остановка поверхностного слоя и образование вихрей

>78 Вода обтекает цилиндр диаметром 1 см co скоростью 1,4 см/с. Визуализация движения осуществляется 78 Вода обтекает цилиндр диаметром 1 см co скоростью 1,4 см/с. Визуализация движения осуществляется так: частицы метятся белым коллоидным дымом, создаваемым электролитическим способом и освещаются световым ножом. Видно, что по мере продвижения вниз по потоку на несколько диаметров ширина вихревой пелены возрастает. Фото Sadatoshi Taneda Вихревая дорожка Кармана за круговым цилиндром при Re = 140

>79 Камера движется здесь вместе с вихрями, а не с цилиндром. Структура линий тока 79 Камера движется здесь вместе с вихрями, а не с цилиндром. Структура линий тока весьма напоминает картину невязкого течения, рассчитанную Карманом. Визуализация потока осуществляется с помощью частиц, плавающих на воде. Фото R. Wille, снимок взят из статьи [Werle, 1973]. Воспроизведено с соответствующего разрешения из Annual Review of Fluid Mechanics, Vol. 5, © 1973 by Annual Reviews Inc Вихри Кармана в абсолютном движении

>80 Зависимость скорости потока от времени (внутри придонного d слоя) между моментами вылета вихрей 80 Зависимость скорости потока от времени (внутри придонного d слоя) между моментами вылета вихрей T

>81 u=0 u=0 umax umax Fтр u x y В вязкой жидкости Р1 Р2 81 u=0 u=0 umax umax Fтр u x y В вязкой жидкости Р1 Р2 Р1> Р2

>82 1. Почему не образуются вихри за цилиндром? Подкраска позволяет увидеть линии тока в 82 1. Почему не образуются вихри за цилиндром? Подкраска позволяет увидеть линии тока в воде, текущей со скоростью 1 мм/с между двумя стеклянными пластинками, отстоящими на расстояние одного миллиметра. Линии тока абсолютно симметричны, такая картина должна наблюдаться в идеальной жидкости (без вязкости)

>83 Над поверхностью воды существует горизонтальный поток воздуха, скорость потока уменьшается в направлении движения. 83 Над поверхностью воды существует горизонтальный поток воздуха, скорость потока уменьшается в направлении движения. Как возникают вихри на поверхности воды?

>84 Ветер, Vвет>C C Р1> Р2 Р1 Р2 Усиление волн ветром 84 Ветер, Vвет>C C Р1> Р2 Р1 Р2 Усиление волн ветром