1 Булеві функції Лекція 3 Булеві функції Булеві

1 Булеві функції Лекція 3 Булеві функції

Булеві функції 2 Джордж Буль (2.11.1815 - 8.12.1864) У 1854 р. побачив світ основний твір Буля “Дослідження законів думки, на яких засновані математичні теорії логіки й імовірності”. Ця ґрунтовна книга нині зараховується до математичної класики; у ній детально досліджується та система алгебри, яку сьогодні називають “алгеброю висловлювань”.

Булеві функції 3 Джордж Буль Чіткість, з якою підійшов Буль до завдання “алгебраїзації логіки”, і те глибоке розуміння природи математики і сенсу абстрактних математичних структур, які він при цьому виявив, не тільки цілком виправдовують загальноприйнятий термін “структура (або алгебра) Буля”, але і зробили можливим крилатий вислів: „Чисту математику відкрив Буль у праці, яка називається Закони думки” (Б. Рассел, англійський математик і філософ). Буль мав чотирьох доньок, які всі виявилися чудовими людьми (у нашій країні найвідоміша Етель Ліліан Буль, у заміжжі Войнич, автор роману “Овід”).

4 Булеві функції Нехай X = {x1, x2, ..., xn-1, xn} – вихідна множина булевих змінних (аргументів). Вважатимемо, що аргументи визначено на множині E2 = {0, 1}, і розглядатимемо функції f(x1, x2, ..., xn) такі, що f(1, 2, ..., n)E2 за умови iE2. У такий спосіб f(x1, x2, ..., xn) розумітимемо як запис функції, що залежить від множини аргументів X. Булеві функції Означення 2.1. Булева функція n змінних або функція алгебри логіки визначається як відображення

Булеві функції 5 Із означення функції f(x1, x2, ..., xn) випливає, що для її задання досить вказати значення функції, які відповідають кожному з наборів значень аргументів, тобто задати таблицю (наступний слайд). Якщо існують n змінних, то вони набувають 2n різних значень. Якщо набір аргументів розглядати як запис числа у двійковій системі числення, то розташування наборів відповідає природному розташуванню двійкових чисел у порядку зростання 0, 1, ..., 2n–1. Табличне задання булевої функції

Булеві функції 6 Таблиця задання булевої функції

Булеві функції 7 Теорема 2.1. Кількість p2(n) усіх функцій з P2, що залежать від n змінних x1, x2, ..., xn, дорівнює . Доведення. Якщо зафіксувати n змінних x1, x2, ..., xn, то таблиця задання функції матиме m = 2n рядків. Таблиці для різних функцій відрізнятимуться тільки значеннями правого стовпчика, а кількість таблиць складатиме 2m, тобто . Теорему доведено. Теорема про кількість булевих функцій

Булеві функції 8 Означення 2.2. Функція f(x1, x2, ..., xi-1, xi, xi+1, ..., xn) із P2 істотно залежить від аргументу xi, якщо існують такі значення змінних x1, x2, ..., xi–1, xi, xi+1, ..., xn, що f(1, 2, ..., i–1, 0, i+1,..., n)  f(1, 2, …, i-1, 1, i+1,. .., n). У цьому випадку змінна xi називається істотною. Якщо xi не є істотною змінною, то вона називається неістотною або фіктивною. Істотні та фіктивні змінні

Булеві функції 9 Нехай для функції f(x1, x2, ..., xn) змінна xi є фіктивною. Візьмемо таблицю для функції f(x1, x2, ..., xn) і згідно з нею побудуємо нову таблицю методом викреслювання всіх рядків, що мають вигляд 1, 2, ..., i-1, 1, i+1, ..., n, а також викреслювання стовпчика для аргументу xi. Отримана таблиця визначатиме деяку функцію g(x1, x2, ..., xi-1, xi+1, ..., xn). Вважатимемо, що її здобуто із f(x1, x2, ..., xn) шляхом вилучення фіктивної змінної xi, а функцію f(x1, x2,..., xn) – із g(x1, x2, ..., xi–1, xi+1, ..., xn) шляхом введення фіктивної змінної xi. Введення та вилучення фіктивних змінних

Булеві функції 10 Означення 2.3. Функції f1(x1, x2, ..., xn) і f2(x1, x2, ..., xm) називаються рівними, якщо одну з них можна одержати із другої шляхом додавання або вилучення фіктивних аргументів. Існують два типи функцій, що не мають істотних змінних: функції першого типу тотожно дорівнюють 0, а другого – тотожно дорівнюють 1. Введемо до подальшого розгляду константи 0 та 1 (як функції від порожньої множини змінних). Зауваження. Якщо задано скінченну систему функцій з P2 = {f1, ..., fs}, s1, то можна вважати, що всі ці функції залежать від тих самих змінних x1, ..., xn, тобто мають вигляд f1(x1, ..., xn), ..., fs(x1, ..., xn). Рівність булевих функцій

Булеві функції 11 Функції системи P2 (1) 1. n = 0. |p2(0)| = 2. Маємо дві функції: це константи 0 та 1 (тотожні сталі).

Булеві функції 12 Функції системи P2 (2) 2. n = 1. |p2(1)| = 4. Функції fi(x) наведено у табличному вигляді (для спрощення таблиць надалі аргументи функцій у них не записуються). Функції f1(x) = 0 та f4(x) = 1 – константи. f2(x) = = x – тотожна функція. Функція f3(x) називається запереченням x, f3(x) = . Операція називається операцією інверсії та описується як = 1, = 0.

Булеві функції 13 Функції системи P2 (3) 3. n = 2. |p2(2)| = 16. Функції fi(x) наведено у таблиці. Функції системи P2 (3) Для цих функцій, як правило, використовують позначення: f2 – x1x2 (або x1x2); f3 – x1 x2; f5 – x1 x2; f7 – x1x2; f8 – x1x2; f9 – x1x2; f10 – x1  x2; f12 – x1x2; f14 – x1x2; f15 – x1x2.

Булеві функції 14 Функції системи P2 (4) 4. n=3; |p2(3)|= 256. 5. n=4; |p2(4)|= 65536.

Булеві функції 15 Основні властивості булевих операцій (1) Властивості булевих операцій використовуються для тотожних перетворень булевих (логічних) виразів. Властивості заперечення = x. Подвійне заперечення логічної (булевої) змінної еквівалентно булевій змінній.

Булеві функції 16 Основні властивості булевих операцій (2) Властивості кон'юнкції x1x2 = x2x1 – переставний закон; x0 = 0 – властивість нульової множини; x1 = x – властивість незмінності; xx = x – властивість повторення; x = 0 – властивість додатковості; x1(x2x3) = (x1x2)x3 – сполучний закон (дужки можна опустити); (x1x2)( x1 2) = x1 – властивість склеювання.

Булеві функції 17 Основні властивості булевих операцій (3) Властивості диз'юнкції x1x2 = x2x1 – переставний закон; x0 = x – властивість незмінності; x1 = 1 – властивість універсальної множини; xx = x – властивість повторення; x = 1 – властивість додатковості; x1(x2x3) = (x1x2)x3 – сполучний закон (дужки можна опустити); x1x2x1 2 = x1 – властивість склеювання.

Булеві функції 18 Основні властивості булевих операцій (4) Правила де Моргана x1x2 = ; x1x2 = . Правила дозволяють перейти від логічного множення до додавання та навпаки.

Булеві функції 19 Основні властивості булевих операцій (5) Розподільна властивість: x1(x2x3) = (x1x2)(x1x3) – логічного множення щодо логічного додавання; x1(x2x3) = (x1x2)(x1x3) – логічного додавання щодо логічного множення.

Булеві функції 20 Основні властивості булевих операцій (6) Властивості імплікації і рівнозначності x1x2 = 1x2; x1  x2 = (x1x2)(x2x1); x1  x2 = ( 1x2)(x1 2); x1  x2 = ( 1 2)( x1x2).

Булеві функції 21 Основні властивості булевих операцій (7) Властивості функції додавання за модулем 2 x1x2 = . Властивості функцій штрих Шеффера та стрілка Пірса x1|x2 = ; x1|x2 = ( 1 2); x1x2 = ; x1x2 = ( 1 2).

Булеві функції 22