1 БУЛЕВА АЛГЕБРА ДИЗЪЮНКТИВНЫЕ И КОНЪЮНКТИВНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ

1 БУЛЕВА АЛГЕБРА ДИЗЪЮНКТИВНЫЕ И КОНЪЮНКТИВНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ (ДНФ и КНФ). СОВЕРШЕННЫЕ ДНФ и КНФ ЛЕКЦИЯ 8 В.И.ХАХАНОВ Факультет компьютерной инженерии и управления, кафедра АПВТ, ХНУРЭ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

2 Цель лекции – изучить способы представления булевых функций в виде дизъюнктивных и конъюнктивных нормальных форм, а также их совершенных форм, определить связь и различие между ними, выявить их назначение Содержание: ДНФ и КНФ СДНФ и СКНФ Теорема Шеннона Тема: ДНФ и КНФ. СДНФ и СКНФ.

3 Горбатов В.А. Основы дискретной математики. М.: Высш. шк., 1986. 32-61с. Савельев А.Я. Прикладная теория цифровых автоматов. М.: Высш. шк., 1987. 272 с. Беннеттс Р.Д. Проектирование тестопригодных логических схем: Пер. с англ. М.: Радио и связь. 1990. 176 с. Бондаренко М.Ф., Кривуля Г.Ф., Рябцев В.Г., Фрадков С.А., Хаханов В.И. Проектирование и диагностика компьютерных систем и сетей. К.: НМЦ ВО. 2000. 306 с. Богомолов А.М., Сперанский Д.В. Аналитические методы в задачах контроля и анализа дискретных устройств. Саратов: Изд-во Саратовкого ун-та, 1986. 240с. Хаханов В.И. Техническая диагностика элементов и узлов персональных компьюторов. К.: ИСМО, 1997. 308 с. Хаханов В.І., Хаханова І.В., Кулак Е.М., Чумаченко С.В. Методичні вказівки до практичних занять з курсу “Дискретна математика”. Харків, ХНУРЕ. 2001. 87с. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. С.-П., 2001. С. 263-268. Литература

4 Базовые понятия: логические операции логические переменные логические функции Термины Ключевые слова: первичный терм конъюнктивный терм дизъюнктивный терм дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) конъюнктивная нормальная форма (КНФ) совершенная ДНФ совершенная КНФ

5 ДНФ и КНФ

6 Def: Совершенной ДНФ (СДНФ) называется ДНФ, в которой нет равных элементарных конъюнкций и все элементарные конъюнкции содержат одни и те же переменные, от которых зависит функция, причем каждую – только один раз (включая вхождения под знаком отрицания). Def: Совершенная КНФ (СКНФ) определяется как такая КНФ, в которой нет одинаковых сомножителей; все сомножители содержат одни и те же переменные, от которых зависит функция, причем каждую переменную – только один раз. Совершенные ДНФ и КНФ (СДНФ и СКНФ). 1

7 Пример получения СДНФ и СКНФ

8 Теорема Шеннона Любая булева функция f0 представима в виде разложения Шеннона: Следствие Предельное разложение Шеннона (k=n) булевой функции f0 имеет вид

9 Time-Out

10 Эквивалентность форм ДНФ и КНФ Привести функцию к ДНФ и КНФ: Получение ДНФ: Получение КНФ

11 Сложность формы булевой функции Оценка сложности функции по Квайну есть Q=L(f)+k, где L(f) – число букв, k – число конъюнктивных термов функции. Уменьшить функцию или ее сложность можно с помощью законов булевой алгебры.

12 Пример оценки сложности функции Уменьшить функцию и оценить ее сложность Оценка сложности по Квайну: Q=L(f)+k=12+4=16 Сложность по Квайну: Q=L(f)+k=7+3=10

13 Пример дизъюнктивного разложения по Шеннону Получить дизъюнктивное разложение функции по переменным x, z: Разложение по указанным переменным имеет вид: Вычисление составляющих дает: Искомое разложение:

14 Выводы Всякая ФАЛ может быть реализована формулой, оперирующей символами , , ¬, скобками и знаком равенства Любая булева функция может быть представлена в виде ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ ДНФ и КНФ есть сокращенная форма записи СДНФ и СКНФ (таблицы истинности) ДНФ есть наиболее распространенная форма описания цифровых систем, максимально приближенная к аппаратурной реализации