1 3. Преобразование Фурье Page 2 Преобразование Фурье
1 3. Преобразование Фурье
Page 2 Преобразование Фурье 3.1. Базисные функции ряда Фурье. 3.2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье. 3.3.Временная и частотные области сигнала. 3.4. Комплексная форма ряда Фурье. 3.5. Интеграл Фурье. 3.6. Преобразование Фурье. 3.7. Синус- и косинус-преобразования.
Page 3 Преобразование Фурье 3.12. Равенство Парсеваля. 3.13. Применение равенства Парсеваля. 3.14. Энергия гармонического осциллятора. 3.15. Приложения преобразования Фурье. 3.16. Таблица преобразований Фурье.
Page 4 3.1. Базисные функции ряда Фурье Ряд Фурье и преобразование Фурье – основные инструменты гармонического анализа. Ряды Фурье и преобразование Фурье были созданы для изучения распространения тепла в твердых и жидких средах. Фурье исследовал тепловые процессы. Один из опытов был посвящен распространению тепла по железному кольцу. Опыт состоит в следующем. Часть кольца на некоторое время погружается в раскаленные угли. Когда она раскалится докрасна, кольцо вынимают из углей и закапывают в песок. Затем измеряют изменение температуры в точках кольца с течением времени.
Page 5 График изменения температуры плавно нарастает (в холодной части) и убывает (в раскаленной части) в форме функции синуса. Тепло проходит по кольцу и возвращается в исходную точку (период 2π). Но тепло движется по кольцу в направлении часовой стрелки и противоположном направлении, встречаясь на половине кольца. 3.1. Базисные функции ряда Фурье
Page 6 В то же время исходная область нагрева не остыла. Получается два источника тепла и период изменения температуры становится равным π. Температура постепенно выравнивается и в конце концов становится одинаковой по всему кольцу. Фурье нашел, что первоначальное нерегулярное распределение можно разложить на множество простых синусоид, каждая из которых имеет свой максимум температуры и свою фазу, т.е. свои источники распространения тепла на кольце. 3.1. Базисные функции ряда Фурье
Page 7 Исходная составляющая один период на кольце (время, за которое тепло проходит полный круг), была названа главной гармоникой, а составляющие с меньшими периодами — соответственно второй, третьей и т.д. гармоникой. Так был построен ряд Фурье. Фурье свёл функцию распределения тепла, трудно поддающуюся математическому описанию, к удобным для анализа суммам синусов и косинусов, оказалось, что эти суммы очень точно описывают распределение тепла в твердом теле. 3.1. Базисные функции ряда Фурье
Page 8 3.1. Базисные функции ряда Фурье В основе ряда Фурье лежат тригонометрические ортогональные функции. Это базисные функции ряда Фурье. Главная гармоника имеет период T, соответственно ω = 2π/T – частота (угловая скорость). Весовая функция s(t) = 1. Ортогональность базисных функций разложения означает, что Проверим это свойство интегрированием.
3.1. Базисные функции ряда Фурье Проверим ортогональность сигналов с весовой функцией s(t) = 1 на отрезке t € [-T/2,+T/2] T=2π/ω, где m, n – целые числа. Найдем скалярное произведение Применим формулу
3.1. Базисные функции ряда Фурье Если m ≠ n (при интегрировании нужно будет делить на m - n), то
Page 11 3.1. Базисные функции ряда Фурье То есть, для любых целых параметров m ≠ n сигналы ортогональны. При m=n=0 получаем То есть нулевой сигнал x(t)=0 ортогонален сам себе. (Такой необычный случай желательно исключить).
3.1. Базисные функции ряда Фурье То есть, норма сигнала sin nωt равна норма сигнала cos nωt также равна При m=n ≠0 получаем
Page 13 3.1. Базисные функции ряда Фурье Окончательно получаем: 1) норма сигнала sin nωt при n=1,2,… равна при n=0 норма sin nωt равна 0. 2) норма сигнала cos nωt при n=1,2,… также равна при n=0 норма cos nωt равна Ввиду отличия норм нулевой базисной функции F0 коэффициенты разложения при этой функции имеют особый вид, не соответствующий общей формуле коэффициентов.
3.1. Базисные функции ряда Фурье 3) Сигнала sin nωt и sin mωt при n≠m для всех целых n и m ортогональны. 4) Сигнала cos nωt и cos mωt при n≠m для всех целых n и m ортогональны (доказать). 5) Сигнала sin nωt и cos mωt для всех целых n и m ортогональны (доказано в п. 2.2). Исходя их этих результатов легко получить коэффициенты разложения сигнала в ряд Фурье, используя общую формулу коэффициентов разложения в ортогональный ряд.
Упражнение. Проверить ортогональность сигналов 3.1. Базисные функции ряда Фурье
Page 16 Коэффициенты Ak, Bk ряда Фурье вычисляются с применением свойства ортогональности базисных функций. Общий вид разложения 3.2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье Вначале найдем коэффициенты A0, B0
Так как sin0 =0, то B0 – любое число, для определенности положим его равным нулю, B0 =0. Коэффициент A0 вычислим, умножив обе части (*) на cos 0 и интегрируя обе части равенства 3.2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье
Page 18 Так как по результатам п 3.1. сигналы cos nωt и cos mωt при n≠m для всех целых n и m ортогональны и сигналы sin nωt и cos mωt для всех целых n и m также ортогональны, то все интегралы, кроме выражения левой части и первого слагаемого правой части обращаются в нуль. Тогда получаем 3.2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье По результатам п 3.1.квадрат нормы cos 0 равен T, Тогда получаем
Page 19 Коэффициенты Ak, Bk вычисляем аналогично, для построения Ak умножаем обе части (*) на cos kωt и проинтегрируем обе части выражения 3.2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье
Page 20 Ввиду ортогональности все интегралы обращаются в нуль, кроме интеграла с коэффициентом Ak, и с учетом нормы cos kωt получаем выражение 3.2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье
Page 21 Отсюда коэффициент Ak для k=1,2,… равен 3.2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье коэффициент Bk вычисляем аналогично, для этого умножаем обе части (*) на sin kωt и интегрируем обе части полученного выражения, окончательно A0 получили раньше
Page 22 3.2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье Если разложение в ряд Фурье функции x(t) записать в виде То формула для Ak справедлива и для k=0. Таким образом, для k=0,1,2,… для k=1,2,…
Легко показать, что при разложении нечетной функции коэффициенты ряда Фурье при базисных функциях cos(·) равны нулю, то есть разложение разложения нечетной функции не содержит базисных функций cos(·). При разложения четной функции ряд Фурье не содержит базисных функций sin(·). Ряд Фурье хорошо приближает периодические функции. Можно рассматривать любую (в том числе непериодическую) функцию на отрезке и разлагать ее в ряд Фурье только на отрезке, для непериодической функции удобно считать длину этого отрезка ее периодом. 3.2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье
Page 24 Прямоугольная функция четная. Ряд Фурье для прямоугольной функции содержит только cos(•): Коэффициенты Bk будут равны нулю. 3.2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье
Page 25 Ряд Фурье для нечетной функции: Эта функция разлагается в ряд синусов, T=2, ω=π (здесь разложение до k = 4). 3.2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье
Page 26 k = 2 k = 1 3.2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье
Page 27 k = 4 k = 3 3.2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье
Page 28 Разложим x(t) = t2 на отрезке [-1, 1], примаем T=2. Функция четная, поэтому ряд содержит только cos(·). 3.2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье
Page 29 Ряд Фурье для четной функции x(t) = t2 на отрезке [-1,+1] (то есть, Т=2) : k = 1 k = 0 k = 2 3.2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье
Page 30 Ряд Фурье для четной функции x(t) = t2 : k = 3 k = 4 3.2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье
Следует заметить, что для некоторых функций ряд Фурье расходится, для некоторых ряд Фурье не сходится к разлагаемой функции, в обоих случаях говорят, что функция не разлагается в ряд Фурье. 3.2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье
Сигнал моделируется в виде функции x(t), зависящей от времени t. Говорят, что сигнал моделируется во временной области. При разложении в ряд Фурье с периодом T сигнал представляется в виде ряда от sin(·) и cos(·) от аргументов ω, 2ω, 3ω, . . ., где частота ω = 2π/T. Таким образом, сигнал разлагается по функциям с аргументами, содержащими частоты kω. Коэффициенты Ак и Вк называются частотными коэффициентами. Такое представление сигнала называется представлением в частотной области. Из представления x(t) во временной области разложением в ряд Фурье можно получить представление в частотной области и наоборот (если существует разложение функции x(t) в ряд Фурье). 3.3.Временная и частотные области сигнала
Page 33 3.3.Временная и частотные области сигнала 2/π
Page 34 Если увеличить период T, то частота ω уменьшится и на график коэффициентов (частотный график) изменится. точки (или отрезки в зависимости от того, как представлены коэффициенты на графике): Для разложения «пилы» предыдущего слайда с удвоенным параметром ω график частот станет такой: 0 1/2 ω 2ω 3ω 4ω kω 3.3.Временная и частотные области сигнала
Page 35 Можно и дальше увеличивать период T, при график частот приближается к некоторой кривой. Ряд приближается к интегральному преобразованию, это преобразование сигнал в некоторую функцию (частотную функцию): 0 1/2 ω 2ω 3ω 4ω kω Это преобразование Фурье исходного сигнала x(t). Штриховая линия – Фурье-образ сигнала x(t). 3.3.Временная и частотные области сигнала
Page 36 Известна формула Эйлера, связывающая экспоненту с тригонометрическими функциями. 3.4. Комплексная форма ряда Фурье Заменяя sin() и cos() экспонентами, получаем ряд Фурье в следующем виде:
Page 37 Введем новые обозначения где Ck и C-k комплексные числа. Запишем ряд Фурье в комплексной форме: 3.4. Комплексная форма ряда Фурье Ck и C-k комплексно сопряженные числа. Зная один из коэффициентов Ck или C-k, можно найти другой, поменяв знак мнимой части. Это означает, что в комплексной форме достаточно разложить сигнал x(t) только для k = 0, 1, 2, … или для k = 0, -1, -2, … и изменив знак мнимой части, получить остальные коэффициенты разложения.
Page 38 Множество вещественных чисел называется спектром амплитуд сигнала. 3.4. Комплексная форма ряда Фурье - спектр фаз - спектр мощности (или энергии) сигнала (подробнее рассмотрим при изучении равенства Парсеваля).
Page 39 3.5. Интеграл Фурье Разложение в ряд Фурье предполагает знание периода T = 2π/ω разложения. Ряд Фурье содержит амплитуды частот, из которых складывается сигнал. Преобразование Фурье, к рассмотрению которого мы переходим, не зависит от периода T и вместо последовательности амплитуд частот строит функцию амплитуд (плотность спектра). Для построения преобразования Фурье представим ряд Фурье в виде интеграла, который называется интегралом Фурье. Ряд Фурье имеет вид :
Коэффициенты подставим в ряд 3.5. Интеграл Фурье Функции не зависят от переменной интегрирования u, как постоянные величины их можно внести под знак интеграла. По формуле преобразуем подынтегральное выражение :
Page 41 3.5. Интеграл Фурье Положим Тогда сигнал x(t) разлагается в ряд:
Page 42 Eсли и сумма стремится к интегралу по z, при этом если в первом слагаемом интеграл сходится, то первое слагаемое ряда стремится к нулю. В пределе 3.5. Интеграл Фурье
Page 43 Ввиду четности по z cos z(t-u) удвоим предел интегрирования и в результате окончательно получим интеграл Фурье: 3.5. Интеграл Фурье Вместе с интегралом Фурье рассмотрим функцию Если этот интеграл существует, то g(z) – нечетная функция по z. Если интегрировать эту функцию на интервале [A, -A] , то
Page 44 3.6. Преобразование Фурье Умножим интеграл от sin(·) на i/2π и сложим с интегралом Фурье Теперь после внесения под общий знак интеграла и применения формулы Эйлера :
Page 45 3.6. Преобразование Фурье или Интегральное преобразование Называется прямым преобразованием Фурье. Оно записывается как
Page 46 3.6. Преобразование Фурье Интегральное преобразование Называется обратным преобразованием Фурье. Функция X(z) называется Фурье-образом функции x(t), а функция x(t) называется Фурье-прообразом функции X(z). По аналогии со спектром амплитуд |X(z)|, называется амплитудной функцией, а Arg(X(z)) фазовой функцией для X(z).
Page 47 3.6. Преобразование Фурье Из формулы вывода преобразования имеем Мы получаем, что Если в формуле переставить интегралы, то получим
Page 48 3.6. Преобразование Фурье При выводе формулы преобразования предполагалось, что переменная t – вещественная, но подынтегральное выражение преобразования – функция комплексной переменной, так как содержит мнимую единицу i То есть вещественная функция вещественного аргумента t (времени) преобразуется в комплексную функцию от вещественного аргумента z (частоты). В общем случае можно рассматривать и t и z как комплексные переменные. Тогда преобразования Фурье – это преобразования комплексной плоскости на комплексную плоскость.
Page 49 3.7. Синус- и косинус-преобразования Однако для некоторых вещественных функций x(t) их Фурье-образ X(z) – тоже вещественная функция. При выводе преобразования Фурье применялся интеграл Фурье Представим cos z(t-u) как косинус суммы и получим (*) Если функция x(u) четная, то во втором интеграле функ- ция x(u) sin(zu) нечетная по u интеграл по du на симмет-ричном отрезке от нее будет равен нулю. Поэтому для четной функций x(u)
Page 50 3.7. Синус- и косинус-преобразования Они называются соответственно прямым и обратным косинус-преобразованием. Косинус-преобразование переводит вещественную функцию в вещественную. Поэтому для четной функций x(t)
3.7. Синус- и косинус-преобразования Функция x(t) sin(zt) – нечетная и поэтому второй интеграл равен нулю. Преобразование Фурье от четной функций x(t) равно:
3.7. Синус- и косинус-преобразования То есть преобразование Фурье от четной функции равно косинус-преобразованию от этой функции с коэффициентом Тогда для четной функции x(t) Если x(t) - четная функция, то
3.7. Синус- и косинус-преобразования Косинус-преобразование определяется не только для четной, но и для любой функции. Заметьте, что косинус-преобразование определено только на неотрицательной полуоси, значения функции на отрицательных аргументах не принимаются во внимание.
Аналогично для нечетной функции x(u) в формуле (*) 3.7. Синус- и косинус-преобразования получаем прямое и обратное синус-преобразование интеграл от x(u) cos(zu) обращается в нуль. Тогда из равенства Синус-преобразование переводит вещественную функцию в вещественную.
Если функция x(t) нечетная, то : 3.7. Синус- и косинус-преобразования так как первый интеграл обращается в нуль. То есть, преобразование Фурье от нечетной функции равно синус-преобразованию от этой функции с множителем
Любую вещественную функцию можно представить в виде суммы четной и нечетной функции. Это известно из курса высшей математики: Пусть x(t) - вещественная функция, определенная на всей оси абцисс. Положим 3.7. Синус- и косинус-преобразования тогда g(t) – четная функция, h(t) – нечетная функция и
Если Gcos(z) – косинус-преобразование функции g(t), а Hsin(z) – синус-преобразование функции h(t), то преобразование Фурье произвольной функции x(t) можно представить как сумму косинус- и синус-преобразований: 3.7. Синус- и косинус-преобразования
Пример. Найти преобразование Фурье функции Функция четная, поэтому ее Фурье-образ можно вычислить через косинус-преобразование. Дважды интегрируем по частям и получаем 3.7. Синус- и косинус-преобразования
График сигнала и его косинус-преобразование 3.7. Синус- и косинус-преобразования
Пример. Найти преобразование Фурье функции где a > 0. Функция четная, ее преобразование Фурье сводится к косинус-преобразованию. 3.8. Примеры Фурье-преобразований
Графики функций (при а = 1) 3.8. Примеры Фурье-преобразований
3.8. Примеры Фурье-преобразований Преобразование получено таким образом: Вначале найдем неопределенный интеграл
3.8. Примеры Фурье-преобразований Далее получаем уравнение относительно искомого неопределенного интеграла:
3.8. Примеры Фурье-преобразований Положим, что искомый интеграл равен Х : И решим полученное уравнение относительно этого неизвестного Х :
3.8. Примеры Фурье-преобразований После алгебраических преобразований получаем значение Х : Найдем определенный интеграл, учитывая что a > 0 :
3.8. Примеры Фурье-преобразований
Интеграл от сигнала - для этого подобран множитель a/2 . Это свойство понадобится при изучении δ-функции. Заметим, что при функция стремится к нулю во всех точках, кроме t=0, а в этой точке функция стремится к бесконечности. То есть, функция x(t) стремится к δ-функции, а ее Фурье – образ стремится к постоянной функции, равной 1. 3.8. Примеры Фурье-преобразований по всей вещественной оси равен
Функция x(t) стремится к δ-функции, а ее Фурье- образ к постоянной величине, равной 1. 3.8. Примеры Фурье-преобразований
Функция четная, поэтому достаточно вычислить ее косинус-преобразование. Найдем Фурье-образ прямоугольной функции 3.8. Примеры Фурье-преобразований
Можно выразить Фурье-образ прямоугольной функции через функцию sinc t. 3.8. Примеры Фурье-преобразований
Рассмотрим специальный случай прямоугольного импульса при a=1/ε . Его Фурье-образ равен Если ε -> 0, то эта функция стремится к 1. То есть снова получено, что преобразование Фурье от некоторой (здесь прямоугольной) δ-функции равно 3.8. Примеры Фурье-преобразований
Свойства преобразования Фурье : 1. Линейность F(a·f(t) + b·g(t)) = a·F(f(t)) + b·F(g(t)). 2. Свойство сдвига по времени: для постоянной τ 3. Свойство сдвига по частоте: для постоянной z0 4. Масштабирование (a не равно 0 ) 5. Преобразование производной 3.9. Свойства преобразования Фурье
Доказательство свойств: 1. Очевидно по свойству линейности интеграла: интеграл суммы равен сумме интегралов. 2. Доказывается заменой переменной 3.9. Свойства преобразования Фурье Выполняем замену: u = t – τ, тогда du = dt , а пределы интегрирования не меняются.
3. Доказываем элементарным преобразованием степени 3.9. Свойства преобразования Фурье
4. Докажем заменой переменных. При а > 0 замена u = at 3.9. Свойства преобразования Фурье При а < 0 та же замена u = at, при этом пределы интегрирования меняются на противоположные. Обратная замена пределов дает знак «минус». Так получается свойство для общего случая. 5. Докажем применением замечательного предела
3.9. Свойства преобразования Фурье
33258-3_fourier_trans.ppt
- Количество слайдов: 76