1 2 При обтекании цилиндра жидкостью,

  • Размер: 4.2 Mегабайта
  • Количество слайдов: 74

Описание презентации 1 2 При обтекании цилиндра жидкостью, по слайдам

1

2 При обтекании цилиндра жидкостью,  его поверхность должна быть линией тока, а = const. 2 При обтекании цилиндра жидкостью, его поверхность должна быть линией тока, а = const. Для задания такой функции тока можно подобрать систему источников и стоков.

3 хцилиндр РО Q R источникисток 2 Показать, что поверхность цилиндра является линией тока 3 хцилиндр РО Q R источникисток 2 Показать, что поверхность цилиндра является линией тока

4 const RPQRPx ORQRPx ROx. RQx. RPx 4 const RPQRPx ORQRPx ROx. RQx. RPx

5

6 Всякая конечная, непрерывная и однозначная функция f ( z ),  первая производная которой конечна6 Всякая конечная, непрерывная и однозначная функция f ( z ), первая производная которой конечна для всех точек области между двумя концентрическими окружностями, описанными около начала координат, может быть разложена в ряд: . . . 2 2 1 1 2 210 z. Bz. AAzf

7. . . 2 210 z. AAzf. Если условия выполнены внутри круга, то. . . 27. . . 2 210 z. AAzf. Если условия выполнены внутри круга, то. . . 2 2 1 10 z. BАzf Если условия выполнены вне круга, то Если условия выполнены во всей плоскости ху 0 Аzf

8 Полагая      , вводя полярные координаты   , представляя комплексные8 Полагая , вводя полярные координаты , представляя комплексные постоянные izf)( nnnnnn i. SRBi. QPA получим: 1 1 0 sincos n. Sn. Rr n. Qn. Pr. P nn n i rez

9   1 1 0 sincos  n. Rn. Sr n. Pn. Qr. Q nn9 1 1 0 sincos n. Rn. Sr n. Pn. Qr. Q nn n

10 Если значение  или задано на концентрических окружностях, то это значение может быть разложено в10 Если значение или задано на концентрических окружностях, то это значение может быть разложено в ряд Фурье по косинусам и синусам кратного угла . Эти ряды должны быть эквивалентны рядам полученным выше. Приравнивая в отдельности коэффициенты при sin( n ) и при cos( n ) , можно получить уравнения для определения P n , Q n , R n, S n. n

11 U 2 a Цилиндр движется в неограниченной жидкости,  которая на бесконечности находится в покое11 U 2 a Цилиндр движется в неограниченной жидкости, которая на бесконечности находится в покое U ху Предполагаем, что движение возникает из состояния покоя. Тогда оно остается безвихревым, а потенциал скорости будет однозначным вне цилиндра

12 U Нормальная составляющая скорости в жидкости на границе с цилиндром равна для r = a12 U Нормальная составляющая скорости в жидкости на границе с цилиндром равна для r = a cos. U rar r . . . 2 2 1 10 z. BАzf 1 0 sincosn. Sn. Rr. P nn n

13  1 1 sincoscosn. Sn. Rna. U nn n. Дифференцируя потенциал скорости по r и13 1 1 sincoscosn. Sn. Rna. U nn n. Дифференцируя потенциал скорости по r и приравнивая нормальные составляющие скорости на границе цилиндра r = a , получаем:

142 1 Ua. R Остальные коэффициенты равны нулюcos 2 r Ua Найти функцию тока 142 1 Ua. R Остальные коэффициенты равны нулюcos 2 r Ua Найти функцию тока

15  0 ds n Так как циркуляция скорости то  - однозначна и может быть15 0 ds n Так как циркуляция скорости то — однозначна и может быть представлена в виде ряда вместе с вне цилиндра

16 ru ru rr   ; 1 1  ;  sin. U r ar16 ru ru rr ; 1 1 ; sin. U r ar

17 1 0 sincosn. Rn. Sr. Q nn n 1 1 sincossinn. Sn. Rna. U nn17 1 0 sincosn. Rn. Sr. Q nn n 1 1 sincossinn. Sn. Rna. U nn n

18 Полное решение задачи: = const вдоль линии тока sinconstr  sin cos 2 2 r18 Полное решение задачи: = const вдоль линии тока sinconstr sin cos 2 2 r Ua а

19 у Течение, возникающее при движении цилиндра с постоянной скоростью в неподвижной жидкости, подобно течению, возникающему19 у Течение, возникающее при движении цилиндра с постоянной скоростью в неподвижной жидкости, подобно течению, возникающему в жидкости при наличии дублета в начале координат. U 2 a

20

21 d. T 2 1 xxxdx 2 sin 4 1 2 1 cos 2  21 d. T 2 1 xxxdx 2 sin 4 1 2 1 cos

22 Кинетическая энергия жидкости: 2 0 222 cos 2 1 da. U  d. T 2122 Кинетическая энергия жидкости: 2 0 222 cos 2 1 da. U d. T 21 2 жидк. выт. 22 2 1 UMUa

23 Кинетическая энергия системы (цилиндр+жидкость),  отнесенная к единице длины цилиндра,  равна сумме энергии цилиндра23 Кинетическая энергия системы (цилиндр+жидкость), отнесенная к единице длины цилиндра, равна сумме энергии цилиндра ( 1/2 М U 2 ) и энергии жидкости ( 1/2 М выт. жидк U 2 )

24

25 Если прямолинейном движении цилиндра на него действует внешняя сила Х  ,  отнесенная к25 Если прямолинейном движении цилиндра на него действует внешняя сила Х , отнесенная к единице длины, то уравнение изменения энергии будет: dt d. U MM UUMMU dt d в. ж. 2 или 2 1 X X X

26 Со стороны жидкости на цилиндр действует силаdt d. U M в. ж.  Она исчезает,26 Со стороны жидкости на цилиндр действует силаdt d. U M в. ж. Она исчезает, если скорость не зависит от времени.

27 Определим эту силу, используя интеграл движения, записанный через потенциал скорости для нестационарного движения жидкости: )(27 Определим эту силу, используя интеграл движения, записанный через потенциал скорости для нестационарного движения жидкости: )( 2 2 t. F q t p q — результирующая скорость: rs q

28? ? 2  ar ar q t  cos 2 r. Ua 28? ? 2 ar ar q t cos 2 r. Ua

29 222 sin 4 cos Uq dtd. U a t ar ar  )(sin 4 cos29 222 sin 4 cos Uq dtd. U a t ar ar )(sin 4 cos 22 t. FU dt d. U a p

30 Для того, чтобы найти силу, действующую на цилиндр со стороны окружающей жидкости,  надо проинтегрировать30 Для того, чтобы найти силу, действующую на цилиндр со стороны окружающей жидкости, надо проинтегрировать давление по границе цилиндра. Проекция на ось х : L х padpdl. F 2 0 coscos dt d. U M выт. жидк.

31 Если цилиндр движется в идеальной жидкости с постоянной во времени скоростью, то со стороны жидкости31 Если цилиндр движется в идеальной жидкости с постоянной во времени скоростью, то со стороны жидкости на него не действует силы.

32

33 -U 2 a. Сообщим жидкости и цилиндру скорость - U. Тогда жидкость будет обтекать неподвижный33 -U 2 a. Сообщим жидкости и цилиндру скорость — U. Тогда жидкость будет обтекать неподвижный цилиндр. U 2 a Пусть цилиндр движется со скоростью U, как показано на рисунке. Запишем комплексный потенциал для плоскопраллельного движения жидкости.

34 )sin()cos( sincos ninareari irreziw azwninn i n  )sin( )cos(  Ur Ur  Потенциал34 )sin()cos( sincos ninareari irreziw azwninn i n )sin( )cos( Ur Ur Потенциал скорости и функция тока для плоскопараллельного течения n=1 : azw ху r yrsinconst y

35 -U 2 a Надо прибавить. U 2 a  sin cos 2 2 r Ua35 -U 2 a Надо прибавить. U 2 a sin cos 2 2 r Ua )sin( )cos( Ur Ur

36 sin)( cos)( 22 ra r. U  Является ли граница цилиндра линией тока? Каковы линии36 sin)( cos)( 22 ra r. U Является ли граница цилиндра линией тока? Каковы линии тока? Определим потенциал скорости и функцию тока на границе цилиндра r=a

370 cos 2  a. UНа границе цилиндра 370 cos 2 a. UНа границе цилиндра

38 Обтекание круга в лотке Хил-Шоу 38 Обтекание круга в лотке Хил-Шоу

39 Подкраска позволяет увидеть линии тока в воде, текущей со скоростью 1 мм/с между двумя стеклянными39 Подкраска позволяет увидеть линии тока в воде, текущей со скоростью 1 мм/с между двумя стеклянными пластинками, отстоящими на расстояние одного миллиметра. Линии тока абсолютно симметричны, такая картина должна наблюдаться в идеальной жидкости (без вязкости)

40 На первый взгляд представляется парадоксальным, что наилучший способ получения безотрывной картины плоского потенциального обтекания цилиндра40 На первый взгляд представляется парадоксальным, что наилучший способ получения безотрывной картины плоского потенциального обтекания цилиндра характерного для идеальной жидкости, состоит в переходе к противоположному крайнему случаю ползущего течения в узком зазоре, для которого влияние сил вязкости является определяющим. Фото D. Н. Регеgrine

41

42 При этом числе Рейнольдса картина линий тока,  очевидно, уже потеряла ту симметрию передней и42 При этом числе Рейнольдса картина линий тока, очевидно, уже потеряла ту симметрию передней и задней частей, которая имела место в ползущем течении. Обтекание кругового цилиндра при Re=1, 54. Ud Re

43 Однако поток сзади все же еще не оторвался.  Отрыв начинается примерно при Re =43 Однако поток сзади все же еще не оторвался. Отрыв начинается примерно при Re = 5, хотя значение числа Рейнольдса начала отрыва точно неизвестно. Линии тока визуализированы с помощью алюминиевого порошка в воде. Фото Sadatoshi Taneda

44 Обтекание кругового цилиндра при Re=9, 6. Произошел отрыв,  и образовалась пара рециркуляционных вихрей. 44 Обтекание кругового цилиндра при Re=9, 6. Произошел отрыв, и образовалась пара рециркуляционных вихрей.

45 Цилиндр движется в бассейне с водой, содержащей алюминиевый порошок, и подсвечивается световым ножом под свободной45 Цилиндр движется в бассейне с водой, содержащей алюминиевый порошок, и подсвечивается световым ножом под свободной поверхностью. Экстраполяция результатов подобных экспериментов на случай неограниченного потока указывает на возможность отрыва при Re=4 -5, тогда как большинство численных расчетов дает Re=5 -7. Фото Sadatoshi Taneda

46 По мере увеличения скорости неподвижные вихри начинают вытягиваться в направлении потока.  Их длина линейно46 По мере увеличения скорости неподвижные вихри начинают вытягиваться в направлении потока. Их длина линейно растет с ростом числа Рейнольдса, пока значение Re не превысит 40 Обтекание кругового цилиндра при Re=13, 1.

47 Расстояние вниз по потоку до центров вихрей также линейно возрастает с ростом числа Рейнольдса. 47 Расстояние вниз по потоку до центров вихрей также линейно возрастает с ростом числа Рейнольдса. Обтекание кругового цилиндра при Re=26.

48 При таком числе Рейнольдса рециркуляционный след простирается на целый диаметр вниз по потоку, однако он48 При таком числе Рейнольдса рециркуляционный след простирается на целый диаметр вниз по потоку, однако он полностью сохраняет свою стационарность, как и в случае кругового цилиндра. Визуализация осуществляется тонким слоем сгущенного молока на шаре; молоко постепенно растворяется и уносится потоком воды. [Taneda, 1956 b] Обтекание шара при Re=

49 Подкраска обнаруживает ламинарный пограничный слой,  отрывающийся перед экватором, причем этот слой остается ламинарным на49 Подкраска обнаруживает ламинарный пограничный слой, отрывающийся перед экватором, причем этот слой остается ламинарным на длине, почти равной радиусу. Затем слой становится неустойчивым и быстро превращается в турбулентный. Фото ONERA. [Werle, 1980] Мгновенная картина потока при обтекании шара при Re=

50

51 Придонный слой конечной толщины может быть остановлен этими силами Силы действующие на элементарный объем воды51 Придонный слой конечной толщины может быть остановлен этими силами Силы действующие на элементарный объем воды вблизи дна в замедляющемся потокетренияx. F x p dt ud )( const ρ 2 211 up 21 uu хu F friction x p u 1 p 1 u 2 p 2 y Свободная поверхность 0 x p 12 pp

52 u=0 u=0 u max F тр0  x p frictionx. F x p dt ud52 u=0 u=0 u max F тр0 x p frictionx. F x p dt ud )( Под действием силы трения и градиента давления происходит периодическая остановка поверхностного слоя и образование вихрей

53 Вода обтекает цилиндр диаметром 1 см co скоростью 1, 4 см/с.  Визуализация движения осуществляется53 Вода обтекает цилиндр диаметром 1 см co скоростью 1, 4 см/с. Визуализация движения осуществляется так: частицы метятся белым коллоидным дымом, создаваемым электролитическим способом и освещаются световым ножом. Видно, что по мере продвижения вниз по потоку на несколько диаметров ширина вихревой пелены возрастает. Фото Sadatoshi Taneda Вихревая дорожка Кармана за круговым цилиндром при Re = 140.

54 Камера движется здесь вместе с вихрями, а не с цилиндром. Структура линий тока весьма напоминает54 Камера движется здесь вместе с вихрями, а не с цилиндром. Структура линий тока весьма напоминает картину невязкого течения, рассчитанную Карманом. Визуализация потока осуществляется с помощью частиц, плавающих на воде. Фото R. Wille, снимок взят из статьи [Werle, 1973]. Воспроизведено с соответствующего разрешения из Annual Review of Fluid Mechanics, Vol. 5, © 1973 by Annual Reviews Inc Вихри Кармана в абсолютном движении

55 u=0 u=0 u max F тр u xy В вязкой жидкости const ρ 2 21155 u=0 u=0 u max F тр u xy В вязкой жидкости const ρ 2 211 up Р 1 Р 2 Р 1 > Р

56 Зависимость скорости потока от времени (внутри придонного слоя) между моментами вылета вихрей 0 0. 256 Зависимость скорости потока от времени (внутри придонного слоя) между моментами вылета вихрей 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1 1. 2 1. 4 1. 6 1. 8 2 2. 4 2. 6 2. 8 3 00. 20. 40. 60. 811. 21. 41. 61. 822. 42. 62. 833. 23. 43. 63. 8 t, c u , см с -1 t , с. T

571. Почему не образуются вихри за цилиндром? Подкраска позволяет увидеть линии тока в воде,  текущей571. Почему не образуются вихри за цилиндром? Подкраска позволяет увидеть линии тока в воде, текущей со скоростью 1 мм/с между двумя стеклянными пластинками, отстоящими на расстояние одного миллиметра. Линии тока абсолютно симметричны, такая картина должна наблюдаться в идеальной жидкости (без вязкости)

58 Над поверхностью воды существует горизонтальный поток воздуха, скорость потока уменьшается в направлении движения. Как возникают58 Над поверхностью воды существует горизонтальный поток воздуха, скорость потока уменьшается в направлении движения. Как возникают волны на поверхности воды?

59 Ветер,  V вет  C C Р 1  Р 2 Р 1 Р59 Ветер, V вет > C C Р 1 > Р 2 Р 1 Р 2 Усиление волн ветром

60

61 Для стационарного  движения при отсутствии внешних силconst 2 2  pu Для стационарного движения61 Для стационарного движения при отсутствии внешних силconst 2 2 pu Для стационарного движения — ( ) выполняется вдоль данной линии тока Для безвихревого движения ( ) выплняется везде 0 t 0 vrot )( 2 2 t. F q t p

62 Определить скорость на границе и компоненты силы, действующей со стороны жидкости на цилиндр u=0 u62 Определить скорость на границе и компоненты силы, действующей со стороны жидкости на цилиндр u=0 u max u xy u max sin)( cos)( 2 2 r a r. U

63 u=0 u=0 u max =2 U u max l lpdf u xy 2 2 qp63 u=0 u=0 u max =2 U u max l lpdf u xy 2 2 qp L хpadpdl. F 2 0 coscos 0 sin 2 1 U as

64 Куда направлена сила, действующая на цилиндр в потоке жидкости со сдвигом скорости? u u=0 u64 Куда направлена сила, действующая на цилиндр в потоке жидкости со сдвигом скорости? u u=0 u 1 u 2 const 2 2 pq l lpdf xy

65 u=0 u=0 u maxu xy Куда направлена сила, действующая на вращающийся цилиндр в однородном потоке65 u=0 u=0 u maxu xy Куда направлена сила, действующая на вращающийся цилиндр в однородном потоке жидкости?

66. . . 2 2 1 1 2 210 z. Bz. AAzf. Для того, чтобы ряд,66. . . 2 2 1 1 2 210 z. Bz. AAzf. Для того, чтобы ряд, представляющий комплексный потенциал, соответствовал случаю произвольного безвихревого движения между двумя концентрическими окружностями, к ряду необходимо прибавить еще слагаемое, описывающее влияние вихревых нитей z. Aln

67 Если A=P+i. Q , то соответствующие выражения для потенциала скорости и функции тока будут: r.67 Если A=P+i. Q , то соответствующие выражения для потенциала скорости и функции тока будут: r. QPQr. Pln~ Циклическая константа функции тока 2 Р означает поток через внутреннюю или внешнюю окружности. Циклическая константа потенциала скорости 2 Q означает циркуляцию по некоторой замкнутой кривой, заключающей начало координат.

68

69 U 2 a Цилиндр двигается с постоянной скоростью и вращается с циклической постоянной . 69 U 2 a Цилиндр двигается с постоянной скоростью и вращается с циклической постоянной .

70 Линии тока дляa U  2 В этом случае точка, в которой скорость равна нулю70 Линии тока дляa U 2 В этом случае точка, в которой скорость равна нулю находится в жидкости

71 -U 2 a Обтекание вращающегося цилиндра 2 cos)( 2 ra r. U 71 -U 2 a Обтекание вращающегося цилиндра 2 cos)( 2 ra r. U

72 Для r = a  2 22 sin 2 2 1 const  a Uq72 Для r = a 2 22 sin 2 2 1 const a Uq p Сила действует на цилиндр вдоль вертикальной оси 2 0 sinadp. Fy не зависит от радиуса U

73 Всякое непрерывное движение жидкости, наполняющей неограниченное пространство и покоящейся в бесконечности, можно рассматривать, как движение,73 Всякое непрерывное движение жидкости, наполняющей неограниченное пространство и покоящейся в бесконечности, можно рассматривать, как движение, вызванное соответствующим распределением источников и вихрей с конечной плотностью.

74 Всякое непрерывное безвихревое циклическое и нециклическое движение несжимаемой жидкости, наполняющей произвольную область, может рассматриваться как74 Всякое непрерывное безвихревое циклическое и нециклическое движение несжимаемой жидкости, наполняющей произвольную область, может рассматриваться как движение, вызванное некоторым распределением вихрей по ограничивающей поверхности, которая отделяет область от остального неограниченного пространства. В случае области, простирающейся в бесконечность, это распределение относится к конечной части ограничивающей поверхности при условии, что жидкость покоится в бесконечности.