1 2. Основы автоматики и системы автоматического

1 2. Основы автоматики и системы автоматического управления (ОА и САУ) Часть 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ САУ

Часть 1. Основы теории линейных непрерывных САУ. 1. 1. Математические модели САУ. 3 -37 1. 2. Типовые звенья САУ и их характеристики. 38 -56 1. 3. Преобразование структурных схем САУ. 57 -71 1. 4. Передаточные функции замкнутых САУ. 72 —

5 Для описания математической модели САУ обычно используется три способа : • 1) поэлементное описание САУ с учётом взаимодействия каждого звена с другими звеньями и с внешней средой. При этом модель САУ описывают системой дифференциальных уравнений, учитывающих все параметры звеньев, входные и выходные величины (координаты) процессов управления, что обеспечивает возможность физической интерпретации всех процессов управления;

6 Для описания математической модели САУ обычно используется три способа: • 2) системное описание САУ представляется одним уравнением, которое получается из поэлементного описания САУ методом подстановок для исключения промежуточных координат процесса управления и учитывает только зависимость выходного процесса (выходной величины) y(t) САУ от входного процесса (входной величины) x(t) при утрате возможности физической интерпретации процессов управления, происходящих внутри САУ;

7 Для описания математической модели САУ обычно используется три способа: • 3) векторно-матричное описание САУ в пространстве переменных состояния системы, позволяющее учитывать все параметры и переменные величины (координаты) САУ и вести расчёты с использованием ЭВМ при возможности физической интерпретации происходящих процессов управления в САУ.

8 • Операторная функция передачи ( ОФП ) является важнейшим математическим описанием звена или САУ, представляющим запись дифференциального уравнения в операторной форме в виде отношения изображений по Лапласу выходной y(t) и входной x(t) величин при нулевых начальных условиях, которая получается в виде:

9 • Операторная функция передачи ( ОФП ) Переводим дифференциальное уравнение в операторную форму, заменой: n n n p dt d 1 1 np 1 ndt nd m m m p dt d 1 1 mp 1 mdt md y(p)y(t) x(p)x(t) и далее

10 • Операторная функция передачи ( ОФП ) ОФП получается из дифференциального уравнения: После перехода к операторной форме: =y(p)a++y(p)pa+y(p)pan nnn. . . 2 2 1 10 x(p)b++x(p)pb=m mm. . .

11 • Операторная функция передачи ( ОФП ) Вынесем y(p) и x(p) за скобки: Запишем ОФП: =y(p)a++y(p)pa+y(p)pan nnn. . . 2 2 1 10 x(p)b++x(p)pb=m mm. . . 1 10 =)a++pa+pa+py(p)(an nnn. . . 2 2 1 10 )b++pb+px(p)(b=m mm. . . 1 10 n nnn m mm a++pa+pa+pa b++pb+pb = x(p) y(p) =W(p). . .

12 • ВРЕМЕННЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ звена или САУ являются переходная функция h(t) и функция веса w(t) • Переходной функцией (переходной характеристикой) h(t)= y(t) звена или САУ называется её реакция на единичное ступенчатое входное воздействие x(t)=1 [ t ] при нулевых начальных условиях. • Функцией веса (весовой функцией, импульсной переходной характеристикой) w(t)= y ( t ) звена или САУ называется её реакция на единичное импульсное входное воздействие x(t)=δ(t) (дельта-функцию или функцию Дирака) при нулевых начальных условиях.

13 • Дельта-функция или функция Дирака получается при дифференцировании единичной ступенчатой функции δ(t)=d 1[t]/dt , при этом δ( t )=0 в любой момент времени t , кроме t=0 , где величина импульса стремится к бесконечности при бесконечно малой продолжительности импульса, а площадь импульса равна единице ∫δ(t)dt=1. • Функция веса w ( t ) связана с переходной функцией h ( t ) операцией дифференцирования w(t)=dh(t)/dt.

14 Временные характеристики • Например для САУ с ОПФ : Переходная характеристика: Импульсная характеристика: 1 p 1 5 + = x(p) y(p) =W(p) x(t )h(t)=y(t ) w(t)=y(t)

15 Временные характеристики • Например, для САУ с : Переходная характеристика: Импульсная характеристика: 1 p 5 = x(p) y(p) =W(p) x(t)h(t)=y(t) x(t) w(t)=y(t)

16 Временные характеристики • Например, для САУ с : Переходная характеристика: Импульсная характеристика: 21 p 1 p 1 5 ++ = x(p) y(p) =W(p) x(t) w(t)=y(t) x(t) h(t)=y(t)

17 Частотные характеристики • Частотные характеристики представляют собой зависимость амплитуды и фазы выходного сигнала звена или системы в установившемся режиме при гармоническом входном сигнале неизменной амплитуды и изменяемой частоты. • Частотные характеристики имеют важное значение для исследования систем автоматического управления, так как они характеризуют передаточные свойства звеньев и систем управления.

18 Частотные характеристики САУx(t)=x m sin t y(t)=y m sin( t+ ) Если на вход САУ в момент времени t =0 приложено гармоническое воздействие x (t) определенной частоты ω x(t)=x m sin ω t , то после окончания переходного процесса в системе установится режим установившихся вынужденных колебаний, а выходная величина y ( t ) будет изменяться по гармоническому закону с той же частотой , но с другой амплитудой y m и со сдвигом t во времени: y(t)=y m sin( t+ ) , где = ( t / T ) 360 – фазовый сдвиг между входным и выходным сигналами в градусах.

19 Частотные характеристики САУx(t)=x m sin t y(t)=y m sin( t+ )

20 Частотные характеристики • Изменяя частоту входного сигнала от 0 до при постоянном значении амплитуды x m , можно установить, что амплитуда и фазовый сдвиг выходного сигнала зависят от частоты входного сигнала. • Зависимости амплитуды y m и фазового сдвига от значений частоты характеризуют динамические свойства элементов и САУ. • Так как амплитуда выходного сигнала определяется также значением амплитуды входного сигнала, то возникает необходимость рассматривать отношение амплитуд y m / x m .

21 Частотные характеристики • Зависимость отношения амплитуд выходного и входного сигнала от частоты называют амплитудной частотной характеристикой (АЧХ) и обозначают А(ω) . • АЧХ характеризует полосу пропускание элементом или САУ сигналов различной частоты. Пропускание оценивается по отношению амплитуд y m / x m. • Зависимость фазового сдвига между выходным и входным сигналами от частоты называют фазовой частотной характеристикой (ФЧХ) ( ). • Фазовый сдвиг 0 называется фазовым опережением.

22 Частотные характеристики ω =1 Гц А( ω )=3. 5 ω =1 Гц φ ( ω )=-45 А( ω ) φ 0 ( ω )

23 Частотные характеристики y(t) x(t ) 360˚ 180˚ 90˚

24 Частотные характеристики • Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) ( частотная передаточная функция, комплексный передачи) W(jω) звена или САУ получается из операторной функции передачи (ОФП) W(p) этого звена или САУ при замене p = j ω и изменении частоты ω от 0 до ∞.

25 Частотные характеристики • Амплитудно-фазовая частотная характеристика W ( j )= U(ω)+j. V(ω)= А ( ω ) е jφ(ω) является функцией комплексного переменного j . • Каждому значению частоты i соответствует комплексное число W ( j i ), представленное на комплексной плоскости изображающим вектором длиной A ( i ), расположенным к вещественной положительной оси под углом ( i ).

26 Частотные характеристики АФХ

27 Частотные характеристики ω =1 Гц А( ω )=3 , 5 ω =1 Гц φ ( ω )=-45 А( ω ) φ ( ω )

28 Частотные характеристики • Выражение для амплитудно-фазовой характеристики конкретного элемента или САУ можно получить из его передаточной функции подстановкой p = j : W(j )=W(p) p=j . • АФХ W ( j ) может быть представлена: • в алгебраической форме W ( j ) = U ( ) + j. V ( ) ; • в показательной форме W(j ) = A( )e j ( ) ; • в тригонометрической форме (по формуле Эйлера) W(jω)=A(ω)cos [ φ(ω) ] +j. A(ω)sin [ φ(ω) ] , где U( ), V( ) — вещественная и мнимая составляющие вектора W(j ) ; A(⍵)= √ U 2 (ω)+V 2 ( ω) – амплитудная частотная характеристика (АЧХ); ( )=arc tg [ V( )/U( ) ]– фазо вая ч астотная характеристика (ФЧХ). (A (

29 Частотные характеристики • Рассмотрим пример. • Пусть передаточная функция имеет вид: • При замене p = j ω получим АФХ в комплексной форме: • Получим в ещественную и мнимую составляющие АФХ :

30 Частотные характеристики

31 Получаем АФХ

32 Получаем АЧХ и ФЧХ

33 Частотные характеристики • В расчетах САУ широко используются логарифмические частотные характеристики. • Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) звена или САУ строится в прямоугольной системе координат, где по оси ординат в линейном масштабе указывается величина ЛАЧХ в децибелах L( )=20 lg W(j ) =20 lg A( ) , а по оси абсцисс в логарифмическом масштабе указывается частота ω в 1/с (при этом равномерные изменения частоты в 10 раз представляются декадами).

34 Частотные характеристики • Децибел равен 1/10 бела. • Бел равен десятичному логарифму отношения мощностей на выходе и входе звена или САУ, пропорциональному отношению квадратов напряжений, токов, скоростей или других величин ( 1 бел = lg. P 2 /P 1 = lg. U 2 2 /U 1 2 ). • Поэтому множитель 20=2∙ 10 , где 2 отражает логарифмирование квадрата отношения выходной и входной величин, а 10 – перевод белов в децибелы.

35 Частотные характеристики • Логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ) φ(ω)= arctg [ V (ω)/U(ω) ] звена или САУ строится по оси ординат в линейном масштабе , где указывается угол фазового сдвига (ω) в радианах или угловых градусах, а по оси абсцисс указывается частота ω в логарифмическом масштабе в 1/с.

36 ЛАЧХ ЛФЧХ ω =1 Гц φ ( ω )=-45 ω =1 0 Гц L ( ω )= 20 lg( 0. 5 )= — 6, 02 д. Бω =1 Гц А( ω )=3. 5 ω =1 Гц φ ( ω )=-45 А( ω ) φ ( ω )АЧХ ФЧХ ω =1 0 Гц А( ω )=0. 5 Частотные логарифмич. характеристики ω =1 Гц L ( ω )= 20 lg( 3. 5 )= 10, 88 д. Б

38 1. 2. Типовые звенья САУ и их характеристики • Звенья с математическим описанием обыкновенными дифференциальными уравнениями первого и второго порядка называются типовыми динамическими звеньями. • Из типовых динамических звеньев составляются алгоритмические структурные схемы САУ. • Знание характеристик типовых звеньев облегчает изучение свойств САУ.

39 1. 2. Типовые звенья САУ и их характеристики • Классификацию типовых звеньев удобно осуществить, рассматривая различные частные случаи общего дифференциального уравнения: В операторной форме: x(t)b+ dt dx(t) b=y(t)a+ dt dy(t) a+ dt y(t)d a 21021 2 0 x(p)b+px(p)b=y(p)a+py(p)a+y(p)pa

40 1. 2. Типовые звенья САУ и их характеристики • Вынесем x(p) и y(p) за скобки: • Передаточная функция в общем виде для типовых звеньев САУ: 21 2 0 10 a+pa+pa b+pb = x(p) y(p) =W(p) )b+px(p)(b=)a+pa+py(p)(a

41 1. 2. Типовые звенья САУ и их характеристики • Принято уравнение: • записывать в виде (разделив на ): • где • Параметры T 2 , T 1 , называются постоянными времени , измеряемыми в секундах; • K называется коэффициентом передачи. )b+px(p)(b=)a+pa+py(p)(a 1021 2 0 )1(11 22 2τpx(p)K=)+p. T+py(p)(T T 2 2= a 0 a 2 , T 1= a 1 a 2 , K= b 1 a 2 , τ= b 0 b 1. a

42 1. 2. Типовые звенья САУ и их характеристики • Передаточная функция из уравнения: • в общем виде для типовых звеньев САУ: 1 )1( 1 22 2+p. T τp. K = x(p) y(p) =W(p) )1(11 22 2τpx(p)K=)+p. T+py(p)(T

43 • Типовые динамические звенья делятся по зависимостям выходной величины y от входного воздействия x в установившихся режимах работы на 4 типа : • 1) позиционные , в которых выходная величина пропорциональна входному воздействию y =Kx ; • 2) интегрирующие, в которых выходная величина пропорциональна интегралу от входно й в еличины y =K∫xdt ; • 3) дифференцирующие , в которых выходная величина пропорциональна дифференциалу (первой производной по времени) от входного воздействия y =K dx/dt ; • 4) запаздывающие , в которых выходная величина равна входной величине, сдвинутой в текущем времени на время запаздывания τ y =x(t – τ ).

44 1. 2. Типовые звенья САУ и их характеристики • Пример:

45 1. 2. Типовые звенья САУ и их характеристики • Пример:

46 1. 2. Типовые звенья САУ и их характеристики • Рассмотрим методику получения временных и частотных характеристик на примере позиционного апериодического (инерционного) звена первого порядка имеющего передаточную функцию: • где T – постоянная времени звена; K – коэффициент передачи звена. • Дифференциальное уравнение процесса управления: , 1)( )( )( Tp K px py p. W )()( )( t. Kxty dt tdy T

47 1. 2. Типовые звенья САУ и их характеристики • Переходная функция звена h(t)= y (t) получается в виде суммы общего и частного решений дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях и подаче на вход единичного ступенчатого воздействия x(t)=1[t]: • где p= – 1/T – корень характеристического уравнения Тр+1=0 ; С=–K∙ 1[t] – постоянная интегрирования при нулевых начальных условиях y (t) t =0 =Ce – 0/T +K∙ 1[t]=0. ], [1)1(][1][1)()()(te. Kt. Ket. Kty. Cetyth. T t pt

48 1. 2. Типовые звенья САУ и их характеристики • Весовая функция звена определяется дифференцированием h(t) по времени: ]. [1 ]}[1)1({)( )(te T K dt te. Kd dt tdh tw. T t

49 1. 2. Типовые звенья САУ и их характеристики • Частотная амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) получается из уравнения ОПФ: • при p=j⍵ АФХ опишется уравнением: • при изменении ω от 0 до бесконечности АФХ имеет вид полуокружности с радиусом K/2. , 1)( )( )( Tp K px py p. W )( 2222 )()()( 111 )( je. Aj. VU T TK j T K Tj K j. W

50 1. 2. Типовые звенья САУ и их характеристики • Амплитудная А(ω) и фазовая φ(ω) частотные характеристики (АЧХ и ФЧХ) определяются из: • и имеют вид: • при ω =0 A(ω)=K , при ω=1/T A(ω)= , при ω =∞ A(ω)= 0. • фазовый сдвиг при изменении частоты от 0 до ∞ изменяется от 0 0 до – 90 0 и ω = – 45 0 при ω=1/T. )( 2222 )()()( 111 )( je. Aj. VU T TK j T K Tj K j. W , 1 )()()( 22 22 T K VUA , )( )( )(Tarctg U V arctg 2/K

51 1. 2. Типовые звенья САУ и их характеристики • Амплитудная А(ω) и фазовая φ(ω) частотные характеристики (АЧХ и ФЧХ) : • при ω =0 A(ω)=K , при ω=1/T A(ω)= , при ω =∞ A(ω)= 0; • фазовый сдвиг при изменении частоты от 0 до ∞ изменяется от 0 0 до – 90 0 и ω = – 45 0 при ω=1/T. 2/K

52 1. 2. Типовые звенья САУ и их характеристики • Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) описывается выражением: • ЛАЧХ, построенная по данному уравнению имеет две асимптоты: • а) при частотах <1/T в ω 2 Т 2 <1/T в ω 2 Т 2 >>1, тогда и асимптота ЛАЧХ L( ) Б =20 lg. K– 20 lg T представляется прямой линией с наклоном минус 20 децибел на декаду (дб/дек) относительно оси абсцисс. 1 lg 20)(lg 20)( 22 TKL

53 1. 2. Типовые звенья САУ и их характеристики • Эти асимптоты сопрягаются при частоте сопряжения ω С =1/T , при этой частоте асимптотическая ЛАЧХ имеет превышение коэффициента передачи по сравнению с непрерывной ЛАЧХ на величину: • которой в расчётах, ввиду малости, можно пренебречь и считать, что асимптотическая ЛАЧХ состоит из горизонтальной и наклонной прямых, образованных отрезками асимптот А и Б , сопрягающихся при ω С =1/T. дб, =+T T K=)cΔL(ω3, 011 2 2 1 20 lg

54 1. 2. Типовые звенья САУ и их характеристики • Логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ) звена имеет такое же расчетное выражение как и ФЧХ, но строится совместно с ЛАЧХ этого звена в логарифмическом масштабе частот и в линейном масштабе угла фазового сдвига, измеряемого в радианах или угловых градусах.

55 1. 2. Типовые звенья САУ и их характеристики • Аналогичным путем получаются временные и частотные характеристики других типовых звеньев САУ, математические модели которых представлены линейными дифференциальными уравнениями не выше второго порядка. • Линеаризация дифференциальных уравнений обычно осуществляется способом их разложения в степенной ряд Тейлора с отбрасыванием членов выше второго порядка.

57 1. 3. Преобразование структурных схем САУ • Изображение САУ в виде совокупности однонаправленных типовых звеньев с указанием связей между ними и с внешней средой называется структурной схемой САУ (алгоритмической структурной схемой или просто структурой САУ), которая является графической интерпретацией описания математической модели САУ операторными функциями передачи (ОФП). • Данный способ составляет сущность структурного метода представления САУ различной физической природы, который дает наглядное представление взаимосвязи элементов, звеньев и частей САУ и позволяет оценивать основные свойства переходных и установившихся процессов в САУ.

58 1. 3. Преобразование структурных схем САУ • На структурных схемах САУ каждое звено обозначается прямоугольником, в котором записывается ОФП звена или её обозначение. • Входные воздействия обозначаются стрелками, направленными в звено, выходные величины – стрелками, направленными из звена. • Сумматоры обозначаются кружком, в который направлены стрелки суммируемых величин (вычитаемые величины обозначаются с минусом около стрелки), а результирующая величина обозначается стрелкой, выходящей из кружка. • Устройства САУ, в которых имеется обратная связь, представляется в структурной схеме контуром с обратной связью.

59 1. 3. Преобразование структурных схем САУ производится с целью получения упрощенного эквивалентного звена или структуры САУ , точно учитывающих математическое описание физических процессов в реальных звеньях исходной САУ, например, в САУ со структурной схемой:

60 1. 3. Преобразование структурных схем САУ • Для этого используются следующие шесть основных правил эквивалентных преобразований структурных схем без изменений ОФП САУ: • 1. Преобразование последовательно соединенных звеньев : . 0 1 021 X)W(=X)WWW(=X n =i inn

61 1. 3. Преобразование структурных схем САУ • Используются следующие шесть основных правил эквивалентных преобразований структурных схем без изменений ОФП САУ: • 2. Преобразование параллельно соединенных звеньев : . 0 1021 X)W(=X)WW+W(=X n =i inn

62 1. 3. Преобразование структурных схем САУ • Используются следующие шесть основных правил эквивалентных преобразований структурных схем без изменений ОФП САУ: • 3. Правило преобразования контура с обратной связью: • + для отрицательной обратной связи; • — для положительной обратной связи. . 1 0 21 1 1121012011 X WW W =X; XWW±XW=)X±X(W=X

63 1. 3. Преобразование структурных схем САУ • Используются следующие шесть основных правил эквивалентных преобразований структурных схем без изменений ОФП САУ: • 4. Правила переноса узла разветвления сигнала : • а) по направлению распространения сигнала. 11 1113 021 21 2 3 021 20 13 1 22 WW+ XWW = WW W W+ XWW =X; X WW+ W W=X

64 1. 3. Преобразование структурных схем САУ • Используются следующие шесть основных правил эквивалентных преобразований структурных схем без изменений ОФП САУ: • 4. Правила переноса узла разветвления сигнала : • б) против направления распространения сигнала. 11 0 321 1 220 321 21 2 X WWW+ W W=X; X WWW+ WW =X

65 1. 3. Преобразование структурных схем САУ • Используются следующие шесть основных правил эквивалентных преобразований структурных схем без изменений ОФП САУ: • 5. Правила переноса сумматора сигналов : • а) по направлению распространения сигнала. 012220122 XWW+FW=X); XW+F(W=X

66 1. 3. Преобразование структурных схем САУ • Используются следующие шесть основных правил эквивалентных преобразований структурных схем без изменений ОФП САУ: • 5. Правила переноса сумматора сигналов : • б) против направления распространения сигнала. 1 01 2 220212)XW+F W (W=X; XWW+F=X

67 1. 3. Преобразование структурных схем САУ • Используются следующие шесть основных правил эквивалентных преобразований структурных схем без изменений ОФП САУ: • 6. Правила перестановка сумматоров в структурных схемах с перекрещивающимися обратными связями для выделения явно выраженных замкнутых контуров управления. • Перестановка сумматоров выполняется в два этапа.

68 1. 3. Преобразование структурных схем САУ • В структурных схемах с перекрещивающимися обратными связями : а) на первом этапе преобразования сумматоры совмещают в ближайшем к входу канале по правилу 5 , б (правилу переноса сумматора сигналов против направления распространения сигнала):

69 1. 3. Преобразование структурных схем САУ • б) на втором этапе преобразования сумматоры переставляют местами в совмещенном канале так, чтобы образовались явно выраженные замкнутые контуры с обратной связью, которые преобразуются по правилу 3 (правилу преобразования контура с обратной связью):

70 1. 3. Преобразование структурных схем САУ • Пример. (p)W+ (p)W(p)W =(p)W+ (p)W=W(p)