1 2 3 Пусть движение происходит

  • Размер: 3.1 Mегабайта
  • Количество слайдов: 81

Описание презентации 1 2 3 Пусть движение происходит по слайдам

 1

 2

 3 Пусть движение происходит в плоскости х, у.  Вихревые линии являются прямыми,  параллельными 3 Пусть движение происходит в плоскости х, у. Вихревые линии являются прямыми, параллельными оси z. 0 , 0 , rotu 0 ln 2 1 ydxrd xu yu yx — значение в точке , а yx, 21 22 yyxxr. Решение этого уравнения дает значение ψ в точке (х, у):

 4 Добавочная функция 0  есть какое-либо решение однородного уравнения 0 0 и позволяет удовлетворить 4 Добавочная функция 0 есть какое-либо решение однородного уравнения 0 0 и позволяет удовлетворить граничным условиям. В случае безграничной жидкости, которая покоится на бесконечности 0 сводится к постоянной.

 5 Скорость жидкости в точке ( х, у) определяется:   ydxd r xx u 5 Скорость жидкости в точке ( х, у) определяется: ydxd r xx u ydxd r yy u y x

 6 Вихревая нить с координатами    и циркуляцией  сообщает жидкости в точке 6 Вихревая нить с координатами и циркуляцией сообщает жидкости в точке ( х, у) скорость, компоненты которой равныyx, 2 2 r xx u r yy u y x х yx, ( х, у)r r U 2 r uu. U yx

 7 Вычислим интегралы: dxdyu yx и - интегрирование распространяется на всю область, где 0 7 Вычислим интегралы: dxdyu yx и — интегрирование распространяется на всю область, где 0 ydxdxdyd r yy dxdyu x 2 2 1 — Интегрирование по поверхности каждый раз распространяется по сечению всех вихрей

 8 Каждому члену соответствует другой член этого интегралаydxdxdyd r yy  2 Они при сложении 8 Каждому члену соответствует другой член этого интегралаydxdxdyd r yy 2 Они при сложении дают 0. Получаем: 0 0 dxdyu y x 0 0 y x Пусть нити перемещаются

 9 Так как напряжение каждого вихря от времени не зависит, то точка с координатами 9 Так как напряжение каждого вихря от времени не зависит, то точка с координатами y y x x в течение всего времени остается неподвижной. Эту точку можно назвать центром системы вихрей, а прямую, параллельную оси z , проходящую через эту точку, — осью системы. Если , то центр лежит в бесконечности.

 10 Одна вихревая нить в точке ( х, у ), вектор вихря внутри бесконечно малого 10 Одна вихревая нить в точке ( х, у ), вектор вихря внутри бесконечно малого сечения имеет постоянное значение Где центр системы ? уy yхx x сс ху r r U 2 Центр одиночного вихря не смещается во времени.

 11 Внутри круга радиуса а жидкость вращается как твердое тело с угловой скоростью . Определить 11 Внутри круга радиуса а жидкость вращается как твердое тело с угловой скоростью . Определить скорость вне круга. ху r r U 2 r a U а 2 2 2 На границе вихря скорость равна a. а

 12 Две параллельные прямые вихревые нити в точках z 1 и z 2. Показать, что 12 Две параллельные прямые вихревые нити в точках z 1 и z 2. Показать, что нити всегда сохраняют одинаковое расстояние друг от друга и вращаются с постоянной угловой скоростью вокруг общего центра С. Пусть циркуляция одной нити равна 1 , а второй 2 . r Запишите комплексный потенциал для 2 нитей.

 1322 11 ln 2 zz iw Комплексная сопряженная скорость 2 2 1 1 1 2 1322 11 ln 2 zz iw Комплексная сопряженная скорость 2 2 1 1 1 2 zzizzidz dw iuu yx 2 2 1 1 * * 1 2 zzizzidt dz iuu yx

 14 Скорость первого вихря в точке z 1 (сам на себя не действует)21 2 * 14 Скорость первого вихря в точке z 1 (сам на себя не действует)21 2 * 1 1 2 zzidt dz 12 1 * 2 1 2 zzidt dz Скорость второго вихря в точке z 2 Отделяем мнимые и действительные части. Обозначим расстояние между вихрями 2 212 yyxxr

 15 4  2  2  2 3  2  1  2 15 4 2 2 2 3 2 1 2 2 2112 2 2121 r xx dtdy r yy dtdx 1 2 + const 0 const 0 , 0 22112 21 1 yy dtdy xx dt xxd dtdx

 16 const  21 2211  yy xx. Получаем интеграл движения центра инерции системы двух 16 const 21 2211 yy xx. Получаем интеграл движения центра инерции системы двух вихрей Точка С с координатами 21 2211 ; yy yxx x cc Остается неподвижной во все время движения

 17 • Получим расстояние между вихрями 17 • Получим расстояние между вихрями

 18 4  2  2  2 3  2  1  2 18 4 2 2 2 3 2 1 2 2 2112 2 2121 r xx dtdy r yy dtdx Вычитаем из первого третье уравнение, из второго – четвертое. 2)( 2 212121 r xx dt yyd r yy dt xxd 21 xx 21 yy 0 )( )( 21 21 dt yyd yy dt xxd xx

 19 const )( )( 2 21  r yyxx. Интегрируем и получаем: Расстояние между вихрями 19 const )( )( 2 21 r yyxx. Интегрируем и получаем: Расстояние между вихрями не меняется в процессе перемещения

 2021 A B x СДва вихря, вращающиеся в разных направлениях, находятся в начальный момент времени 2021 A B x СДва вихря, вращающиеся в разных направлениях, находятся в начальный момент времени на вещественной оси. 21 Найти скорости вихрей, расстояние от первого вихря до центра системы, угловую скорость вращения вихрей.

 2121 A B xy 21 12 2 1 2 хх V 21 1 2 2 2121 A B xy 21 12 2 1 2 хх V 21 1 2 2 хх V )( 12 21 2 1 21 2211 ххххх A С С O OOOOOOO С r

 22 2 211 1 2 r. AС V Угловая скорость вращения вихрей вокруг центра С 22 2 211 1 2 r. AС V Угловая скорость вращения вихрей вокруг центра С Показать, что угловые скорости вихрей равны Где будет точка С, если вихри вращаются в одном направлении?

 23 Как будут двигаться 2 вихря радиуса а , если они имеют циркуляцию разного знака, 23 Как будут двигаться 2 вихря радиуса а , если они имеют циркуляцию разного знака, но одинаковую по модулю? Вихри вращаются как твердое тело.

 24 Движение двух вихрей с противоположным направлением вращения и С А 21 А С = 24 Движение двух вихрей с противоположным направлением вращения и С А 21 А С = V 1 =V 2 = Вихри двигаются по прямой с одинаковой скоростью АВ а 2 а В ABAС 21 2 ВA V 2 2 1 AB V 2 1 2 2 2 а

 2521 А а В Такие вихри называются  «парой вихрей» . Они являются плоской аналогией 2521 А а В Такие вихри называются «парой вихрей» . Они являются плоской аналогией вихревому кольцу и обладает многими свойствами последнего.

 26 Куда двигается кольцевой вихрь? 26 Куда двигается кольцевой вихрь?

 27 U Записать функцию тока для вихревой пары в потоке жидкости,  имеющего постоянную скоростью 27 U Записать функцию тока для вихревой пары в потоке жидкости, имеющего постоянную скоростью U. Скорость потока равна по модулю скорости пары, но противоположна по направлению.

 28= const а- аconst r r 2 1 , ln 2  , 2 21 28= const а- аconst r r 2 1 , ln 2 , 2 21 aa. Линии тока вихревой пары А В

 29 парыпотока VU Ux. Udxx. U Функция тока для течения, имеющего постоянную скорость вдоль оси 29 парыпотока VU Ux. Udxx. U Функция тока для течения, имеющего постоянную скорость вдоль оси ординат a. BAAB V пары 422 21 ax потока

 30 Относительные линии тока вихревой пары можно получить, если сообщить этой системе общую скорость, которая 30 Относительные линии тока вихревой пары можно получить, если сообщить этой системе общую скорость, которая равна скорости вихрей по модулю, но направлена в противоположную сторону 2 1 ln 22 r r a x 0 О на оси у и на овале О ( жирная линия ).

 31 Жидкость внутри овала С движется вместе с вихрями.  Жидкость вне овала С обтекает 31 Жидкость внутри овала С движется вместе с вихрями. Жидкость вне овала С обтекает этот овал как твердый цилиндр. Полуоси овала С приблизительно имеют длину 2. 09 а и 1. 73 а.

 32 Найти в ортогональной системе координат уравнения линий тока для  1) случая двух вихрей 32 Найти в ортогональной системе координат уравнения линий тока для 1) случая двух вихрей одинаковой интенсивности 2) пары вихрей

 3321 ln 2 zz i w 21 ln 2 zzzz iw 21 ln 2 rr 3321 ln 2 zz i w 21 ln 2 zzzz iw 21 ln 2 rr На линии тока constyyxx constrr const 2 22 22 12 1 21 z 2 z

 34= const а- аconst r r 2 1 , ln 2 Линии тока вихревой пары 34= const а- аconst r r 2 1 , ln 2 Линии тока вихревой пары А В 2 22 22 12 1 yyxxconstyyxx

 35 а 35 а

 36 Найти скорость перемещения вихря у твердой стенки 36 Найти скорость перемещения вихря у твердой стенки

 37 Так как скорость жидкости во всех точках плоскости симметрии направлена по касательной,  то 37 Так как скорость жидкости во всех точках плоскости симметрии направлена по касательной, то можно предположить, что эта плоскость образует твердую границу для жидкости. Таким образом систему « вихрь у твердой границы» можно смоделировать системой, представляющей собой пару вихрей. Вихрь у твердой границы будет перемещаться с постоянной скоростью а 2 аа V

 38 x, y. В точке с координатами х, у находится прямая вихревая нить. Жидкость ограничена 38 x, y. В точке с координатами х, у находится прямая вихревая нить. Жидкость ограничена твердыми стенками, образующими прямой угол вдоль осей координат. Найти траекторию вихря.

 39 Так как циркуляция скорости вихря постоянна, то течение стационарно. В этом случае траектория вихря 39 Так как циркуляция скорости вихря постоянна, то течение стационарно. В этом случае траектория вихря совпадает с линией тока, проходящей через точку ( x, y ) Для того, чтобы описать влияние стенки, расположенной вдоль мнимой оси, поместим вихрь той же интенсивности, но с противоположным знаком циркуляции в точку ( — x, y ) (отразим вихрь)

 4021 ln 2 zz i w x, y- x, y 4021 ln 2 zz i w x, y- x, y

 41 Для того, чтобы описать влияние стенки,  расположенной вдоль действительной оси,  поместим вихри 41 Для того, чтобы описать влияние стенки, расположенной вдоль действительной оси, поместим вихри той же интенсивности, но с противоположными знаками циркуляции в точки ( — x, — y ) и ( x, — y )

 42 x, y- x, y x, - y- x, - y 43 21 ln 2 42 x, y- x, y x, — y- x, — y 43 21 ln 2 ln 2 zz izz iw Надо найти потенциал в точке ( x, y )

 43 22 22 ln 2)( ln. Re 2  ; )( ln 2 2 ln 43 22 22 ln 2)( ln. Re 2 ; )( ln 2 2 ln 2)22 ln( 22 ln 2 )(ln 2 )()ln 2 yx yx xy yix iw xy yix i yi iyix ix i iyxiyx iw На линии тока = const , т. е. const 22 22 yx yx

 44 const 11 22 yxx, y- x, y x, - y- x, - y. Траектория 44 const 11 22 yxx, y- x, y x, — y- x, — y. Траектория вихря в углу, образованном твердыми стенками

 45 n точечных вихрей, расположенных в точках z 1 , …,  z n 45 n точечных вихрей, расположенных в точках z 1 , …, z n и имеющих интенсивности 1 , …, n k k yx k n k k zzidzdw iuu zz izw 1 2 ln 2)( 1 1 Комплексный потенциал Комплексная скорость Записать уравнение движения вихря в точке z p (k=p)

 46 kpn pkk kp zzidtdz  1 2 1* Уравнение движения вихря в точке z 46 kpn pkk kp zzidtdz 1 2 1* Уравнение движения вихря в точке z p (k=p) Умножая на p z p и суммируя по переменной p от 1 до n , получаем pk pkpn p pp idt dz z 2 1 * 1 Отделить мнимую и действительную части

 4701  n p p pp dtdy y dtdx x   pk pkn p 4701 n p p pp dtdy y dtdx x pk pkn p p pp pp dtdx y dtdy x 1 const 0 1 22 n p ppp yx yx dt d

 48 const 1 2  n p pp r. Сумма моментов инерции масс  p 48 const 1 2 n p pp r. Сумма моментов инерции масс p относительно начала координат не меняется со временем

 49

 50

 51

 52

 53

 54

 55

 56

 57

 58

 59 kpn pkk kp zzidtdz  1 2 1* Умножая на и суммируя по переменной 59 kpn pkk kp zzidtdz 1 2 1* Умножая на и суммируя по переменной p от 1 до n , получаем еще один интеграл dtdz p p constln n pk kppk r

 60

 61 Экспериментальные данные показывают,  что диаметр вихрей спутников примерно в три-четыре раза меньше диаметра 61 Экспериментальные данные показывают, что диаметр вихрей спутников примерно в три-четыре раза меньше диаметра основного вихря в момент формирования 43 сп а а n

 62

 63 Конец третьего перелета вихряс см u 2. 18 max с см u 7. 20 63 Конец третьего перелета вихряс см u 2. 18 max с см u 7. 20 см 23. 0 1 053. 0 cux 1 5. 23 с Т=0. 82 с s =1. 7 см см 25. 1 max ct 15. 0 max 2 a= 0. 16 см

 64 Образование компактных структур при косом ударе вихрей о дно Круглое сечение вихря трансформируется в 64 Образование компактных структур при косом ударе вихрей о дно Круглое сечение вихря трансформируется в семядолю Вихри спутники сливаются

 65124 3 ? ? Возможно вихри спутники слились в один вихрь и возникла компактная пара 65124 3 ? ? Возможно вихри спутники слились в один вихрь и возникла компактная пара

 66 Перемещение компактных пар Одинаковый диаметр вихрей Пара перемещается с постоянной скоростью 07. 0 2 66 Перемещение компактных пар Одинаковый диаметр вихрей Пара перемещается с постоянной скоростью 07. 0 2 u. V a V пары Радиусы вихрей немного отличаются Медленное вращение. Максимальное значение скорости пары

 67 Компактные вихревые структуры поднимаются вверх с постоянной скоростью07. 0 u. Vпар 0 u. Uпар 67 Компактные вихревые структуры поднимаются вверх с постоянной скоростью07. 0 u. Vпар 0 u. Uпар

 68 Формирование диполя - некомпактной структуры из двух вихрей 68 Формирование диполя — некомпактной структуры из двух вихрей

 69 u s сп s. Вихри в момент образования 69 u s сп s. Вихри в момент образования

 70 Взаимодействие вихрей одного знака в однородной жидкости вблизи подстилающей поверхности s a Если s/a5. 70 Взаимодействие вихрей одного знака в однородной жидкости вблизи подстилающей поверхности s a Если s/a<5. 7 , то вихри сближаются и сливаются в один вихрь Егоров О. В. , Мартынов С. Л. , Мельникова О. Н. Влияние волнового характера скорости потока в придонном слое на формирование вихрей. // Известия РАН, серия физическая. 2002. Т. 66. № 12. С. 1709 —

 71 направление потока 3 - основной вихрь,  4 - спутникис см u 40 max 71 направление потока 3 — основной вихрь, 4 — спутникис см u 40 max с см u 5. 40 см 14. 0 1 1 cux 1 3. 64 с Т=0. 15 с s =0. 4 смдно 1. 4 мм диполь. Формирование диполя а сп =0. 35 мм s сп =2 мм кадр 1 кадр 2 а = 0. 5 мм

 72 Форма диполя xy z 21 3 72 Форма диполя xy z

 73 Вихри в диполе сохраняют круглое сечение 73 Вихри в диполе сохраняют круглое сечение

 74 Вихри, составляющие диполь, имеют различный диаметр, что приводит к вращению диполя 74 Вихри, составляющие диполь, имеют различный диаметр, что приводит к вращению диполя

 75 Траектория диполя h 75 Траектория диполя h

 7607. 0 2 u. V a V дип  Максимальная скорость подъема диполя Максимальная горизонтальная 7607. 0 2 u. V a V дип Максимальная скорость подъема диполя Максимальная горизонтальная скорость диполя 0 7 u. Uдип Еречнев Д. А. , Еречнева К. В. , Жмур В. В. , Мельникова О. Н. Влияние когерентных структур на коэффициент турбулентного трения в тормозящихся потоках воды и воздуха. // Известия РАН. Физика океана и атмосферы. 2003. Т. 39. № 1.

 77 Рассмотрим поток, в котором параметры вихрей сильно меняются за время перелета Расстояние между вихрями 77 Рассмотрим поток, в котором параметры вихрей сильно меняются за время перелета Расстояние между вихрями спутниками s сп > 5. 7 а сп

 78 Визуализация методом PIVmaxu а 2 2 78 Визуализация методом PIVmaxu а

 79 Отрыв вихря спутника в верхней части траектории основного вихряс см u 2. 8 max 79 Отрыв вихря спутника в верхней части траектории основного вихряс см u 2. 8 max 1 3. 2 с 1 035. 0 cux см/с5. 00 u мм 4. 4 а = 1. 5 ммs = 1. 4 cм

 80  max x 1 перелет. Расстояние между вихрями спутниками s сп   5. 80 max x 1 перелет. Расстояние между вихрями спутниками s сп > 5. 7 а сп. Отрыв вихря спутника в верхней части траектории основного вихря xсп vutu 000 0 u фон сп. Горизонтальная скорость вихря спутникаtuuфон

 81 Траектории вихрей Основной вихрь Диполь Пара Вихрь спутник  81 Траектории вихрей Основной вихрь Диполь Пара Вихрь спутник