§5.1 Общие положения §5 Дифференциальные уравнения второго порядка

Решение ДУ 2-го порядка называется функция , непрерывная на некотором интервале и имеющая там производные y’ и y’’, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество График решения называется интегральной кривой

Решим задачу отыскания частного решения уравнения по начальным условиям

Вывод: Геометрически общее решение – это семейство парабол. Так как это семейство зависит от двух произвольных постоянных, то через каждую точку плоскости проходит бесконечно много парабол, имеющих различные касательные в этой точке.

Для выделения одной параболы из семейства кроме координат точки, через которую проходит искомая парабола, нужно задать еще угловой коэффициент касательной к интересующей параболе в этой точке.

Общим решением уравнения называется функция зависящая не только от переменной x, но и от двух произвольных констант и такая, что: 1) она является решением уравнения 2) при любых допустимых начальных условиях такие, что функция будет удовлетворять этим начальным условиям.

Задача отыскания решения уравнения удовлетворяющего заданным начальным условиям называется задачей Коши

Теорема: (о существовании и единственности решения задачи Коши) Если функция и ее частные производные непрерывны в некоторой области D, содержащей точку то существует и притом единственно решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям

Геометрически это означает, что при выполнении условий теоремы через заданную точку (x0,y0) плоскости проходит единственная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом y’0 касательной в этой точке.

Замечание о дифференциальном уравнении n –го порядка

Порядок дифференциального уравнения определяется порядком найвысшей производной, входящей в это уравнение график решения называется интегральной кривой данного уравнения. дифференциальное уравнение задаёт семейство интегральных кривых на плоскости. Для выделения одной кривой из семейства достаточно задать начальные условия

Задача Коши – задача нахождения частного решения по начальным условиям (число которых равно порядку дифференциального уравнения) .

Теорема: (о существовании и единственности решения задачи Коши) Если функция и ее частные производные непрерывны в некоторой области D, содержащей точку то существует и притом единственно решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям

y=(x,C1 ,C2 ,…,Cn) общее решение дифференциального уравнения – это функция , которая зависит от n произвольных постоянных, число которых равно порядку дифференциального уравнения и такая, что: а) она удовлетворяет уравнению при любых значениях призвольных констант

б) каковы бы ни были начальные условия можно найти единственные значения такие, что функция удовлетворяет данным начальным условиям.

§5.2 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Теорема 1: (Свойство решений однородного уравнения) Если и - два частных решения уравнения (2), то их линейная комбинация - также частное решение однородного уравнения

Доказательство: решение – это функция, которая обращает уравнение в тождество

Сгруппируем слагаемые

Определение: Функции и называются линейно независимыми, если Теорема 2: (о структуре общего решения линейного однородного уравнения) Если и - два линейно независимых частных решения уравнения (2), то их линейная комбинация дает общее решение линейного однородного уравнения.

Определение: линейно независимые решения y1(x), y2(x) однородного уравнения образуют фундаментальную систему решений

Метод вариации произвольных постоянных решения неоднородного уравнения Сначала находится общее решение соответствующего однородного уравнения. Затем в формуле общего решения предполагается, что постоянные С1 и С2 являются неизвестными функциями независимой переменной x (говорят, что постоянные варьируются, изменяются).

Подберем функции С1(x) и C2(x) так, чтобы Тогда

Подставляя выражения для y, y’ и y’’ в исходное уравнение, получим

Сгруппируем слагаемые

Поскольку y1(x), y2(x) - решения однородного уравнения, то выражения в квадратных скобках равны нулю, поэтому

Вывод: функции С1(x) и C2(x) найдутся как решение системы

Так как функции y1(x), y2(x) образуют фундаментальную систему решений (то есть они линейно независимые решения однородного уравнения), то система имеет единственное решение:

Проинтегрировав полученные функции, мы найдём С1(x) и C2(x)

Пример.

В формуле общего решения однородного уравнения варьируем произвольные постоянные

Функции и называются линейно независимыми, если Теорема 2: (о структуре общего решения линейного однородного уравнения) Если и - два линейно независимых частных решения уравнения (2), то их линейная комбинация дает общее решение линейного однородного уравнения.

Метод Эйлера решения однородного уравнения

Метод Эйлера

- линейно независимы

Решение неоднородного уравнения Теорема 3: (о структуре общего решения неоднородного уравнения) Общее решение неоднородного уравнения (1) есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения неоднородного где - частное решение уравнения (1)

Нахождение в случае специальной правой части где - число корней характеристического уравнения равных нулю - многочлен той же степени, что и , но с неопределенными коэффициентами

где r – число корней характеристического уравнения равных . - многочлен той же степени, что и , но с неопределенными коэффициентами

Определить структуру общего решения

Теорема 4: (о суперпозиции решений) Если правая часть уравнения представляет собой сумму: а и - частные решения уравнения функция - является частным решением уравнения

Определить структуру общего решения

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения применим принцип суперпозиции

Общее решение исходного уравнения запишется в виде: