§4 Дифференциальные уравнения 1-го порядка §4.1 Основные понятия
61-differencialynye_uravneniya_pervogo_poryadka.ppt
- Количество слайдов: 59
§4 Дифференциальные уравнения 1-го порядка §4.1 Основные понятия
Дифференциальным уравнением называется равенство, связывающее между собой независимую переменную x, функцию y(x) и ее производные. Порядком ДУ называется порядок старшей производной, входящей в уравнение Решением ДУ называется такая дифференцируемая функция, определенная на некотором интервале, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Процесс нахождения всех решений ДУ называется интегрированием.
Пример. Задачей Коши или начальной задачей называют задачу нахождения решения по начальному условию: у(x0)=y0
Соотношение связывающее между собой независимую переменную x, функцию y(x) и ее производную называется дифференциальным уравнением 1-го порядка. (2) - уравнение, разрешенное относительно производной (3)- уравнение “в дифференциалах”
Переход от (2) к (3) и обратно происходит с помощью замены: При этом может измениться только область задания уравнения Решением ДУ (1) будет дифференцируемая функция определенная на некотором интервале a;b, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Общим решением ДУ 1-го порядка называется функция где С – произвольная константа, что: 1) функция является решением ДУ. 2) для любого допустимого начального условия найдется точка , что Частное решение – это функция , получаемая из общего решения при конкретном значении произвольной постоянной.
С геометрической точки зрения общее решение – это множество интегральных кривых С геометрической точки зрения частное решение – это одна интегральная кривая из семейства. Задача Коши – это задача отыскания частного решения по начальному условию
Т-ма (о существовании и единственности решения задачи Коши):Пусть в ДУ функция и непрерывны в некоторой области D плоскости OXY. Тогда для любой точки существует и единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию
Геометрический смысл теоремы состоит в том, что через каждую точку (x 0;y 0) области D проходит одна и только одна интегральная кривая дифференциального уравнения
Решение, в каждой точке которого нарушаются условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши называется особым. Особое решение не может быть получено из общего ни при каких числовых значениях константы С, включая
Пример. Решением является также функция y=0. Это решение нельзя получить из общего решения ни при каком числовом значении константы С.
Геометрическое толкование ДУ 1-го порядка: уравнение устанавливает связь между координатами точки и угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку.
ДУ задает поле направлений. Геометрически направление можно изобразить стрелкой, проходящей через эту точку. Решение этого дифференциального уравнения есть интегральная кривая, направление касательной к которой в каждой точке совпадает с направлением поля в этой точке.
y’=2x y=x2+C
§ 4.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
уравнения с разделяющимися переменными Если
Действительные корни уравнений также являются решениями исходного уравнения. Только они могут оказаться особыми решениями
- общее решение в области Пример.
- решение Особое или частное ? - это особое решение
Задача. В благоприятных для размножения условиях находится N0 бактерий. Известно, что скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. Найти закон роста числа бактерий с течением времени Пусть N(t) - количество размножающихся бактерий в момент времени t: N(0)=N0. N’(t)=kN(t), k>0
Получили уравнение с разделяющимися переменными
N(t)=Cekt - общее решение Воспользуемся условием N(0)=N0 , откуда N0=C. Окончательно получим N(t)=N0ekt - закон роста числа бактерий с течением времени
Математическая модель рекламы В СМИ дается реклама для ускорения реализации некоторой продукции. Найти закон распространения известий о наличии этой продукции. Решение. Пусть N – число потенциальных покупателей, то в момент времени t о наличии продукции знает y(t) покупателей.
Известно, что скорость распространения информации (скорость изменения функции y(t) ) прямо пропорциональна как числу знающих о продукции, так и числу не знающих. Получили уравнение с разделяющимися Переменными (найти решение самостоятельно)
- уравнения с разделяющимися переменными
§4.3 Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
- однородная функция нулевой степени - однородные функции одной степени
положив t=1/x , получим однородное ДУ сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой функции u(x) путем замены
Пример
§4.4 Линейные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли
- неоднородное линейное Если , то - однородное линейное уравнение I Метод Бернулли (метод подстановки) Решение уравнения ищется в виде произведения двух функций , где
Тогда Подставим все в исходное уравнение Будем подбирать функцию v(x) такой, чтобы выражение в скобках было равно нулю.
Решим
Решим
Общее решение исходного уравнения:
Пример. Сделаем подстановку
Найдем одно частное решение первого уравнения системы Найдем все семейство решений последнего уравнения
Решением исходного уравнения будет функция
II. Метод вариации произвольной постоянной Пример. Рассмотрим линейное однородное уравнение. Оно всегда является уравнением с разделяющимися переменными
Будем варьировать произвольную постоянную в формуле общего решения однородного уравнения. То есть предположим, что С не константа, а некоторая неизвестная функция С=С(х). Станем искать решение неоднородного уравнения в виде
подставим все в исходное уравнение
Получим уравнение
Подставляем найденную функцию С(х) в формулу общего решения неоднородного уравнения. Получим
II Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной) Найдем решение в общем виде. Рассмотрим линейное однородное уравнение. Это уравнение с разделяющимися переменными
- общее решение однородного уравнения Варьируем произвольную постоянную, т.е. общее решение исходного неоднородного уравнения будем искать в виде - неизвестная функция
Подставляем y’(x) и y(x) в исходное уравнение