§4 Дифференциальные уравнения 1-го порядка §4.1 Основные понятия

Скачать презентацию §4 Дифференциальные уравнения 1-го порядка §4.1 Основные понятия Скачать презентацию §4 Дифференциальные уравнения 1-го порядка §4.1 Основные понятия

61-differencialynye_uravneniya_pervogo_poryadka.ppt

  • Количество слайдов: 59

>§4 Дифференциальные уравнения 1-го порядка §4.1 Основные понятия §4 Дифференциальные уравнения 1-го порядка §4.1 Основные понятия

>Дифференциальным уравнением называется равенство, связывающее между собой независимую переменную x, функцию y(x) и ее Дифференциальным уравнением называется равенство, связывающее между собой независимую переменную x, функцию y(x) и ее производные. Порядком ДУ называется порядок старшей производной, входящей в уравнение Решением ДУ называется такая дифференцируемая функция, определенная на некотором интервале, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Процесс нахождения всех решений ДУ называется интегрированием.

>Пример. Задачей Коши  или начальной задачей называют задачу нахождения решения по начальному условию: Пример. Задачей Коши или начальной задачей называют задачу нахождения решения по начальному условию: у(x0)=y0

>

>Соотношение связывающее между собой независимую переменную x, функцию y(x) и ее производную называется дифференциальным Соотношение связывающее между собой независимую переменную x, функцию y(x) и ее производную называется дифференциальным уравнением 1-го порядка. (2) - уравнение, разрешенное относительно производной (3)- уравнение “в дифференциалах”

>Переход от (2) к (3) и обратно происходит с помощью замены:   При Переход от (2) к (3) и обратно происходит с помощью замены: При этом может измениться только область задания уравнения Решением ДУ (1) будет дифференцируемая функция определенная на некотором интервале a;b, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

>Общим решением ДУ 1-го порядка называется функция       Общим решением ДУ 1-го порядка называется функция где С – произвольная константа, что: 1) функция является решением ДУ. 2) для любого допустимого начального условия найдется точка , что Частное решение – это функция , получаемая из общего решения при конкретном значении произвольной постоянной.

>С геометрической точки зрения общее решение – это множество интегральных кривых С геометрической точки С геометрической точки зрения общее решение – это множество интегральных кривых С геометрической точки зрения частное решение – это одна интегральная кривая из семейства. Задача Коши – это задача отыскания частного решения по начальному условию

>Т-ма (о существовании и единственности решения задачи Коши):Пусть в ДУ    Т-ма (о существовании и единственности решения задачи Коши):Пусть в ДУ функция и непрерывны в некоторой области D плоскости OXY. Тогда для любой точки существует и единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию

>Геометрический смысл теоремы состоит в том, что через каждую точку (x 0;y 0) области Геометрический смысл теоремы состоит в том, что через каждую точку (x 0;y 0) области D проходит одна и только одна интегральная кривая дифференциального уравнения

>Решение, в каждой точке которого нарушаются условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши Решение, в каждой точке которого нарушаются условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши называется особым. Особое решение не может быть получено из общего ни при каких числовых значениях константы С, включая

>Пример. Решением является также функция  y=0. Это решение нельзя получить  из общего Пример. Решением является также функция y=0. Это решение нельзя получить из общего решения ни при каком числовом значении константы С.

>Геометрическое толкование ДУ 1-го порядка: уравнение        Геометрическое толкование ДУ 1-го порядка: уравнение устанавливает связь между координатами точки и угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку.

>ДУ             ДУ задает поле направлений. Геометрически направление можно изобразить стрелкой, проходящей через эту точку. Решение этого дифференциального уравнения есть интегральная кривая, направление касательной к которой в каждой точке совпадает с направлением поля в этой точке.

>y’=2x y=x2+C y’=2x y=x2+C

>§ 4.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными § 4.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

>уравнения с  разделяющимися  переменными Если уравнения с разделяющимися переменными Если

>Действительные корни уравнений также являются решениями исходного уравнения. Только они могут оказаться  особыми Действительные корни уравнений также являются решениями исходного уравнения. Только они могут оказаться особыми решениями

>- общее решение в области Пример. - общее решение в области Пример.

>- решение Особое или частное ? - это особое решение - решение Особое или частное ? - это особое решение

>Задача. В благоприятных для размножения условиях находится N0  бактерий. Известно, что скорость размножения Задача. В благоприятных для размножения условиях находится N0 бактерий. Известно, что скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. Найти закон роста числа бактерий с течением времени Пусть N(t) - количество размножающихся бактерий в момент времени t: N(0)=N0. N’(t)=kN(t), k>0

>Получили уравнение с разделяющимися  переменными Получили уравнение с разделяющимися переменными

>N(t)=Cekt   - общее решение Воспользуемся условием N(0)=N0 , откуда N0=C.  Окончательно N(t)=Cekt - общее решение Воспользуемся условием N(0)=N0 , откуда N0=C. Окончательно получим N(t)=N0ekt - закон роста числа бактерий с течением времени

>Математическая модель рекламы В СМИ дается реклама для ускорения реализации некоторой продукции.  Найти Математическая модель рекламы В СМИ дается реклама для ускорения реализации некоторой продукции. Найти закон распространения известий о наличии этой продукции. Решение. Пусть N – число потенциальных покупателей, то в момент времени t о наличии продукции знает y(t) покупателей.

>Известно, что скорость распространения информации (скорость изменения функции y(t) ) прямо пропорциональна как числу Известно, что скорость распространения информации (скорость изменения функции y(t) ) прямо пропорциональна как числу знающих о продукции, так и числу не знающих. Получили уравнение с разделяющимися Переменными (найти решение самостоятельно)

>- уравнения с разделяющимися  переменными - уравнения с разделяющимися переменными

>

>

>§4.3 Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка §4.3 Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

>- однородная функция нулевой степени - однородные функции одной степени - однородная функция нулевой степени - однородные функции одной степени

>положив t=1/x , получим однородное  ДУ сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно положив t=1/x , получим однородное ДУ сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой функции u(x) путем замены

>Пример Пример

>

>

>§4.4 Линейные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли §4.4 Линейные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли

>- неоднородное линейное Если          - неоднородное линейное Если , то - однородное линейное уравнение I Метод Бернулли (метод подстановки) Решение уравнения ищется в виде произведения двух функций , где

>Тогда Подставим все в исходное уравнение Будем подбирать функцию v(x) такой, чтобы выражение в Тогда Подставим все в исходное уравнение Будем подбирать функцию v(x) такой, чтобы выражение в скобках было равно нулю.

>Решим Решим

>Решим Решим

>

>

>Общее решение исходного уравнения: Общее решение исходного уравнения:

>Пример.  Сделаем подстановку Пример. Сделаем подстановку

>

>Найдем одно частное решение первого  уравнения системы Найдем все семейство решений последнего уравнения Найдем одно частное решение первого уравнения системы Найдем все семейство решений последнего уравнения

>Решением  исходного уравнения будет функция Решением исходного уравнения будет функция

>II. Метод вариации произвольной постоянной Пример. Рассмотрим линейное однородное уравнение. Оно всегда является уравнением II. Метод вариации произвольной постоянной Пример. Рассмотрим линейное однородное уравнение. Оно всегда является уравнением с разделяющимися переменными

>

>Будем варьировать произвольную постоянную в формуле общего решения однородного уравнения. То есть предположим, что Будем варьировать произвольную постоянную в формуле общего решения однородного уравнения. То есть предположим, что С не константа, а некоторая неизвестная функция С=С(х). Станем искать решение неоднородного уравнения в виде

>подставим все в исходное уравнение подставим все в исходное уравнение

>Получим уравнение Получим уравнение

>Подставляем найденную функцию С(х) в формулу общего решения неоднородного уравнения. Получим Подставляем найденную функцию С(х) в формулу общего решения неоднородного уравнения. Получим

>II Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной) Найдем решение в общем виде. Рассмотрим линейное II Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной) Найдем решение в общем виде. Рассмотрим линейное однородное уравнение. Это уравнение с разделяющимися переменными

>- общее решение однородного     уравнения Варьируем произвольную постоянную, т.е. общее - общее решение однородного уравнения Варьируем произвольную постоянную, т.е. общее решение исходного неоднородного уравнения будем искать в виде - неизвестная функция

>Подставляем y’(x) и  y(x) в исходное уравнение Подставляем y’(x) и y(x) в исходное уравнение

>

>