§ 5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ 5.

§ 5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

5. 1. ОПИСАНИЕ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ, ФУНКЦИЯ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ И ОПЕРАЦИИ НАД НЕЧЕТКИМИ МНОЖЕСТВАМИ

Определение. Под нечетким множеством понимается множество для которого невозможно задать строгих границ.

Пусть V – полное множество, охватывающее всю предметную область. Нечеткое множество F (оно фактически является подмножеством V , но принято говорить о нем как о множестве) определяется через функцию принадлежности ( u – элемент множества V ). Эта функция отображает элементы и множества V на множество чисел в интервале от 0 до 1 , которые указывают степень принадлежности каждого элемента нечеткому множеству F. )(u.

Если такое множество V состоит из конечного числа элементов, , то нечеткое множество F можно представить в следующем виде: n 21 u, u, u n i i i. F n n. FFF u u u u F 1 2 2 1 1. . .

Пример. Пусть полное множество – это множество людей в возрасте 0 -100 лет, функции принадлежности нечетких множеств, обозначающих возраст: «молодой» , «средний» , «старый» 1 20 30 40 50 60 70 80 90 10 0 Молодой Средний Старый u

В случае непрерывного множества V используется интегральное представление совокупности Vi i. F u u

Если определить множества возрастов как дискретные, отслеживая только позиции, соответствующие десятилетиям, то множества могут быть представлены в следующем виде: 30 3, 0 20 8, 0 10 1 uмолодой 50 5. 0 40 1 30 5. 0 uсредний 90 1 80 1 70 1 60 8. 0 50 4. 0 uстарый

Операции над нечеткими множествами 1. Дополнение множества 2. Объединение множеств 3. Пересечение множествu 1 FF , uuu GFGF , uuu. GFGFили или n ii i. F u u F 1 1 n ii GF u uu GF 1 n ii i. Gi. F u uu G

Пример. 90 1. . . 50 1 40 1 30 7. 0 20 2. 0 uмолодой 50 5. 0 40 1 30 5. 0 20 8. 0 10 1 uсредниймолодойсред ниймолод о й 30 3. 0 uсредниймолодой

5. 2. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ

Определение. Нечетким отношением R между некоторой проблемной областью (полным множеством U ) и другой областью (полным множеством V ) называется нечеткое подмножество прямого произведения U X V , определяемое следующим образом: n i m j ji ji. R vu vu R 11, , , . . , 21 nuuu. Umvvv. V. . . ,

Допустим, что существует знание правит типа « если F , то G » , использующее нечеткие множества и , тогда один из способов построения нечеткого отношения из соответствующей области множества U в области множества V состоит в следующем: n i m j ji i. Gi. F vu vu GFR 1 1 , UFVG

Пример : Пример. Пусть U ={ A , B , C , D } — множество людей, а – это множество штанг различного веса, тогда определим следующим образом нечеткие множества: F – множество сильных людей и G – множество штанг большого веса.

5. 3. СВЕРТКА ОТНОШЕНИЙ

Для построения полноценного вывода необходимо определить не только понятие отношения, но и правило перехода от одного отношения к другому, которое базируется на понятии свертки отношений. Определение. Сверткой отношений называется правило перехода от одного отношения к другому, т. е. пусть R – нечеткое отношение между областью U и областью V , а S – нечеткое отношение между V и W , тогда нечеткое отношение между U и W определяется как свертка отношений R и S

Символ « » обозначает минимаксную свертку, определяемую для выводов с помощью цепочки правил. v – взятие max для всех , — взятие min для каждой пары. 11, , , i n kki kj. Sji. R vvwu wvvu VSR j

Пример. Пусть задано множество чисел — мышечной массы различного объема и на нем определено нечеткие множество H — большой мышечной массы. Множество как и в предыдущем примере, это множество штанг различного веса, на котором определено нечеткое множество F не маленьких весов.

5. 4. ПОСТРОЕНИЕ НЕЧЕТКОГО ВЫВОДА

Традиционный дедуктивный вывод (называемый правило определения) – это вывод Q из P (факта) по правилу Это записывается так. QP. Q P QP

Это же обозначение используется в случаях нечетких дедуктивных выводов, если знания – это нечеткие множества а именно вывод из по правилу записывается так: » , , , GFGF ‘ G ‘ F GF. ‘ ‘ Q P G

Множества F и не обязательно совпадают. Если F и близки друг к другу, то их можно сопоставить и получить вывод в области их совпадения. Конкретно нечеткие выводы представляются следующим образом. Вывод определяется из свертки множества и отношения R. ‘F ‘ G j ji. Ri. Fm j. Vuv vuu VG i , 1 ‘ mvvv. VGGVFF, , , 21 »

Пример. Пусть, как и в предыдущем случае